0级数学分析第2学期测验解答1-3.docVIP

共6页 第 PAGE 1页 数学分析C(2)测验（2011.3.27） 姓名＿＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿ 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得 分 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1. 下列广义积分发散的是 ……【 C 】 (A). (B). (C). (D). 2. 方程的一个特解的形式为(其中)……【 B 】 (A). (B). (C). (D). 3. 设级数收敛，则下列级数中必定收敛的是 ……【 C 】 (A). (B). (C). (D). 4. (电院) 设三个三维向量满足，则 ……【 A 】 (A) QUOTE c×b 一定共面. (B) QUOTE b×c 一定异面. (C) 中任何二个向量垂直. (D) 中至少有二个向量垂直. 4. (管院) 曲线及，所围平面图形的面积是 ……【 D 】 (A). (B). (C). (D). 二、填空题（每小题4分，共16分） 1. 以向量与为邻边的平行四边形的面积为. 2. 设数列，则，. 3. 广义积分. 4. 面上直线绕轴旋转而成的旋转曲面方程为. 三、判断题（正确的请给出证明,错误的请举出反例. 每小题6分，共12分） 1. 若，则级数与级数必有相同的敛散性. 解 错误. (3分) 反例：，, 则,发散,但收敛.(6分) 2. 若无穷积分收敛，则必定收敛. 解 正确. (3分) 由于，且收敛，而单调下降且当时，, 据Abel判别法知收敛. (6分) 四、（10分）求过点，既与直线相交，又与直线垂直的直线方程. 解一 点与直线决定的平面法向量 , 从而该平面方程为. (4分) 过点且与直线垂直的平面方程为. (8分) 故所求直线方程为. (10分) 解二 设所求直线的方向向量，则有 , (4分) 且, (8分) 解得，故所求直线为. (10分) 五、（每小题8分，共16分） 1．求微分方程的通解. 解 令, 则有, 从而有, 积分得 (4分) , (6分) 从而. (8分) 2．求微分方程的通解. 解 令，则原方程化为 , (4分) 故有, 从而. (8分) 六、（每小题10分，共20分）. 1．判断级数 的敛散性 (含条件收敛和绝对收敛性). 解 由于，且单减趋于0, 据Dirichlet判别法知收敛. 又因为单增且, 再由Abel判别法知原级数收敛. (5分) 另一方面，由于, 且发散, 类似上面的讨论有收敛, 从而发散，进而有发散，故原级数条件收敛. (10分) 2. 讨论广义积分的敛散性 (含条件收敛和绝对收敛性) . 解 令，则有 . (3分) 对于，被积函数非负，由于, 因此仅当时收敛. (5分) 对于，由知当时积分绝对收敛; 当时，由Dirichlet判别法(验证从略)可知积分条件收敛. (7分) 综上所述有：当时，原广义积分条件收敛；当时，原广义积分绝对收敛；当时，原广义积分发散. (10分) 说明：前面3分（其中代换1分，拆成瑕积分和无穷积分2分）. 如下做法 其中仅当时收敛；对于仅说明了时绝对收敛，最后结论后两