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圆的知识点总结 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形 的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形， 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴， 圆有无数条对称 轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 圆的知识点总结 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论 1 （1）平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意 两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径） ；④平分弦所对的优弧；⑤平 分弦所对的劣弧。 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所 对的弦的弦心距相等。 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一 个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的 弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心 距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 圆的知识点总结 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中， 相等的圆周角所 对的弧也相等； 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是 直径； 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直 角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨 迹。 （1）平面内， 到一定点的距离等于定长的点的轨迹， 是以这个定点为圆心， 定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的 垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图 1，在⊙O 中，半径 O M⊥弦 AB于点 N。 图 1 圆的知识点总结 ①若 AB＝，O N＝1，求 MN的长； ②若半径 O M＝R，∠AOB＝120° ，求 M N的长。 解：①∵A B＝，半径 O M⊥A B， ∴AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得 OA＝2 ∴M N＝O M－O N＝OA－O N＝1 ②∵半径 O M⊥A B，且∠AOB＝120° ∴∠AOM＝60° ∵ON＝OA· cos∠AON＝O M· cos60° ＝ ∴ 说明：如图 1，一般地，若∠ AOB＝2n° ，O M⊥AB 于 N，AO＝R，O N＝h，则 AB＝2Rsin n ° ＝2htan n ° ＝ 例2. 已知：如图 2，在△ABC中，∠ACB＝90° ，∠B＝25° ，以点 C为圆 心、A C为半径作⊙ C，交 AB于点 D，求的度数。 图 2 分析：因为弧与垂径定理有关； 与圆心角、 圆周角有关； 与弦、弦心距有关； 弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种 供参考。 解法一：（用垂径定理求）如图 2－1，过点 C作 CE⊥AB于点 E，交于点 F。 图2－1 ∴ 圆的知识点总结 又∵∠ACB＝9 0° ，∠B＝2 5° ，∴∠FCA＝25° ∴的度数为 2 5° ，∴的度数为 5 0° 。 解法二：（用圆周角求）如图 2－2，延长 AC交⊙C 于点 E，连结 ED 图2－2 ∵AE是直径，∴∠ ADE＝9 0° ∵∠ACB＝9 0° ，∠B＝2 5° ，∴∠E＝∠B＝25° ∴的度数为 5 0° 。 解法三：（用圆心角求）如图 2－3，连结 CD 图 2－3 ∵∠ACB＝9 0° ，∠B＝2 5° ，∴∠A＝65° ∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝6 5° ∴∠ACD＝5 0° ，∴的度数为 5 0° 。 例3. 已知：如图 3，△ABC内接于⊙O 且AB＝AC，⊙O 的半径等于