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数学建模基础之
用 MATLAB解数学模型问题
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研室
内容提要
案例1:确定某地区人口增长模型
2.案例2:薄膜渗透率的测定
3.案例3:原子弹爆炸的能量估计
4.案例4:街头骗局揭秘
5.案例5:生物种群增长的 Logistic模型
6.学习资源
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研室
案例1:地区人口模型
表1是某地区1971—2000年的人口数据,试给出该地区人口增长的数学模型
表1某地区人口变化数据
年份人口数量(人)年份人口数量(人)年份人口数量(人)
971
33815
1981
34483
1991
34515
1972
33981
34488
34517
1973
34004
1983
34513
1993
34519
974
34165
3449
1994
34519
34212
34511
34521
34327
1986345201996521
977
34344
3450
1997
34523
34458
34509
1998
34525
1979
34498
34521199434525
98084761990451320034527
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地区人口模型
第一步做出散点图
*y”“++++十+**++*
第二步根据散点图,选择近似的数学模型
可以考虑应用 Logistic曲线模型y
a tbe
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地区人口模型
第三步求解数学模型
tbe
年份人口数量(人)年份人口数量(人)年份人口数量(人)
33815
8134483
1991
34515
4519
34165
984
34497
4519
1975
34212
34511
995
1976
34327
198634520
1996
34521
97734344198734507
34
4523
1978
34458
1988
31509
1998
34525
979
34498
34525
1980
34476
990
34513
2000
34527
直接拟合吗?可以!但面临非线性最优化问题求解!
将模型变更一下会更好!
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地区人口模型
对于模型(1.1),只要令
(1.2)
就可以将其转化为线性模型
y=a+br
(1.3)
然后利用线性最小二乘法求解即可。
十中+十书书
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西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研室
案例2:薄膜渗透率的测定模型
某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它(从高浓
度的溶液向低浓度的溶液扩散)的功能,在试制时需测定
薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下:用面积为S
的薄膜将容器分成体积分别为VA,VB的两部分(见图),在
两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时
物质分子就会穿过溥膜从高浓度向低浓度溶液扩散。
种通过单位面积薄膜分子扩散的速度与薄膜两侧溶液浓度
差成正比,比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能
力,称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度
值,可以确定K的数值,试用数学建模的方法解决K值的
求解问题
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薄膜渗透率的测定模型
1、假设
(1)薄膜两侧的溶液始终是均匀的,即在任何时
刻薄膜两侧的每一处溶液的浓度都是相同的;
(2)当两侧浓度不一致时,物质的分子穿透薄膜
综总是从高浓度向低浓度溶液扩散
(3)通过单位面积薄膜分子扩散的速度与薄膜两
侧的浓度差成正比
(4)薄膜是双向同性的,即物质从薄膜的任何
侧向另一侧渗透的性能相同。
2、符号
(1)CA(t),Cn()表示t时刻薄膜两侧溶液的浓度(单位:mg/cm2)
(2)aAaB表示初始时刻溥膜两侧溶液的浓度
(3)K表示滲透率
(4)VA,Vn表示由薄膜组个的容器两侧的体积
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薄膜渗透率的测定模型
3.模型的建立
考查时段[,+△]滹两侧容器中该物质质量的变化以容器A侧为例,在该时段物质
质量增加量为
VAC4(t+△)-VACA(t)
另一方面由滲透率的定义可知,从B侧渗透至A侧的该物质的质量为
SK(CB-CA△
由质量守恒定律,两者应该相等,于是有
VACA(+A)-VACA()=SK( CB-CA)At
两边同除M,令M→0,整理得
(CR-C)
d t
西南交
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