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分层介质格林函数 1 混合势积分方程 如图1所示的分层介质示意图中，我们令所有的分层都是平行于平面的。在上述的结构中，我们假设辐射体部分占据了共层，表示为。 图1 分层介质示意图 在第层的辐射体表面，可以得到如下的边界条件： （1） 其中的和分别代表第层中的入射场和散射场，而后者取决于整个辐射体表面的感应电流。如果用表示源点所在的层，代表场点所在的层，则可以从（1）式中得到： （2） 其中表示第层中的矢量磁位，它的源是来自于第层中的，并满足： （3） 我们可以按照类似的定义来解释（2）式中的标量电位，它与矢量磁位之间满足洛伦茨规范： （4） 其中。运用上述（1）~（4）式，可以得到： ， on , （5） 上式就是一般所谓的EFIE，在线问题中这样的式子是十分有价值的。但是在任意形状的面问题中，特别当我们考虑分层介质这样的情况下，算子会引起很大的麻烦。此时，我们可以考虑将散度算子放入积分内，这等于将式标量电位表示为： （6） 下面工作的目标是把（6）式中的散度算子消除，因为后面的是一个并矢。我们想规避对于并矢的哈密顿算子计算，把它转换为针对矢量或者标量的哈密顿算子计算。有人很直观地想把对于这个并矢的计算转换为： （7） 但是Krzystof曾经证明，在分层介质情况下满足上式的标量位在数学上是不存在的，同时给出了可能存在的情况为： （8） 把上式代入式（6），并运用到式（5）中，我们便可以得到满足要求的混合势积分方程（Mixed Potential Integral Equations, MPIE）： , on , （9） 其中 （10） 式（10）中的和之前定义的共同表征了分层介质中的格林函数。 式（9）中的两个封闭曲线积分与源点层上下边界有关，形式十分繁琐且在具体计算时非常困难。为此，Krzystof针对图1所示结构，给出了和的一种特殊构成法。这种方法构成的MPIE被称为C类MPIE（Formulation-C Mixed Potential Integral Equation），此时式（9）中的两个封闭曲线积分项可以被略去。 2 C类MPIE下的分层介质格林函数（这一节的原理不是很明白） 我们重写（4）式如下： （4） 上式中的代表第层中的并矢格林函数，它的源是存在于第层中的任意朝向的单位电流极子。 这个可以通过解亥姆霍兹方程得到： （11） 其中的是一个单位矩阵，它取决于场量切向分量所满足的边界条件。众所周知，对于一个朝向的极子，矢位的两个分量必须满足边界条件。一般来说，我们选择的是和的分量，这样我们可以得到如下的表达式： （12） 同时，对于式（10）中的我们选择： （13） 这样的选择被称为C类MPIE下的分层介质格林函数，并且可以消去式（9）中的两个环线积分。 在上述前提下，我们对式（8）两端做傅里叶变换，便可以得到相应的谱域标量方程： （14） （15） （16） 其中上标“~”表征谱域分量，右上标“ ”表征源点坐标。和是单位波矢量的分量，但是在后面的结果中可以看到它们并不单独地存在。 选取式（11）、（12）的形式后，从方程（13） ~ （15）中可以得到的形式为： （17） 其中各分量表示为： （18） （19） （20） （21） （22）