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题型三 向量共线问题 例3　设eq \o(OA,\s\up6(→))、eq \o(OB,\s\up6(→))不共线，求证点P、A、B共线的充要条件是：eq \o(OP,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))且λ＋μ＝1，λ，μ∈R. 【分析】　充分性由eq \o(OP,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))(λ＋μ＝1)出发，证得eq \o(AP,\s\up6(→))＝μeq \o(AB,\s\up6(→))，从而得A，B，P三点共线．必要性，从A，B，P三点共线推出eq \o(OP,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))且λ＋μ＝1. 【解析】　充分性： ∵λ＋μ＝1，∴eq \o(OP,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→)) ＝(1－μ)eq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋μ(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))) ＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(AB,\s\up6(→))， ∴eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝μeq \o(AB,\s\up6(→)).∴eq \o(AP,\s\up6(→))＝μeq \o(AB,\s\up6(→))，∴eq \o(AP,\s\up6(→))、eq \o(AB,\s\up6(→))共线． ∵有公共点A，∴A、P、B三点共线． 必要性：若P、A、B三点共线， 则eq \o(AP,\s\up6(→))＝μeq \o(AB,\s\up6(→))＝μ(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))，∴eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝μeq \o(OB,\s\up6(→))－μeq \o(OA,\s\up6(→))， ∴eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1－μ)eq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→)).令λ＝1－μ， 则eq \o(OP,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))，其中μ＋λ＝1. 探究3　(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 思考题3　设两个非零向量a与b不共线． (1)若eq \o(AB,\s\up10(→))＝a＋b，eq \o(BC,\s\up10(→))＝2a＋8b，eq \o(CD,\s\up10(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． (1)【证明】　∵eq \o(AB,\s\up10(→))＝a＋b，eq \o(BC,\s\up10(→))＝2a＋8b，eq \o(CD,\s\up10(→))＝3(a－b) ∴eq \o(BD,\s\up10(→))＝eq \o(BC,\s\up10(→))＋eq \o(CD,\s\up10(→))＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \o(AB,\s\up10(→))，∴eq \o(AB,\s\up10(→))与eq \o(BD,\s\up10(→))共线， ∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线． (2)【解析】　∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb) 即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b ∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝±(λk－1)＝0，∴k＝±1. (2010·湖北卷，理)已知ΔABC和点M满足eq \o(MA,\s\up6(→))＋eq \o(MB,\s\up6(→))＋eq \o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m使得eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))＝meq \o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由eq \o(MA