3.93弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础).docVIP

PAGE 3.93弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积　的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题； 3. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式　　半径为R的圆中　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即；　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.　　圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则　　圆锥的侧面积， 圆锥的全面积.要点诠释：　　扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧的弧长为（ ）． A． CBAO B． C． D． C B A O 图（1） 【答案】A. 【解析】连结OB、OC，如图（2） 则，OB=，，， 由弦BC∥OA得， 所以△OBC为等边三角形，. 则劣弧的弧长为，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：. 举一反三： 【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】R=40mm，n=110　　　　∴的长==≈76.8(mm)　　　　因此，管道的展直长度约为76.8mm． 2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π） 【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB， OM=MC=OC=OA． ∴∠B=∠A=30°， ∴∠AOB=120° ∴S扇形=． 【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式. 举一反三： 【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（　　）． A． B． C． D． AE A E B D C F P 图（1） 【答案】连结AD，则AD⊥BC， △ABC的面积是：BC?AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=． 图（2）故选B． 类型二、圆锥面积的计算 3．小红为了迎接圣诞节而准备做一顶圣诞帽．如图所示，圆锥的母线长为26cm，高24cm，求它的底面半径及做这样一顶帽子需要的布料面积(接缝忽略不计)． 【答案与解析】 如图所示，在Rt△SOA中， ． 即圆锥底面半径为10cm，做这样的圣诞帽需布料πRr=260πcm2． 【总结升华】本题考查的是圆锥母线R，高h，底面半径r三者的关