3-3函数的最值及应用.docVIP

PAGE PAGE 5 ·复习 函数的单调性及其判别法，极值的概念及其判断方法。 ·引入 在实际生活中，经常会遇到如何做才能“用料最省”、“产值最高”、“质量最好”、”“耗时最少”等问题，这类问题在数学上就是最大值和最小值的问题。 ·讲解新课 第三节 函数的最值及应用 一 最大值与最小值问题 设函数在闭区间上连续，则函数在上必有最大值和最小值．显然，函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的极值点或端点处取得。 因此求函数在闭区间的最值的方法是： （1）可直接求出一切可能的极值点（包括驻点及导数不存在的点）和端点的函数值， （2）比较这些函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值． 例1 求函数在上的最大值及最小值． 解：因为， 令，得驻点， 相应的函数值为． 在端点处的函数值为． 比较以上各函数值，可知上，函数的最大值为，最小值为． 如果连续函数在闭区间内部只有一个极值点，而且函数在该点确有极大值（极小值），那么就无需与端点的值进行比较，即可判定函数在该点的值为最大值（最小值），如图1，2所示. 图1 图2 例2 求函数的最值． 解：函数的定义域为（）， 由，令，得驻点． 因为当时，，当，， 所以是函数的极大值点． 由于在（）内只有唯一一个极大值点，因此函数的极大值就是函数的最大值，即如图3所示． 二 最值的应用 在实际问题中，如果函数在某区间内只有一个驻点，而且从实际问题本身又可以知道在该区间内必定有最大值或最小值，那么就是所要求的最大值或最小值． 例3 要做一批圆柱形无盖铁桶，要求每个铁桶的容积是一定值，问怎样设计才能使材料最省？ 解：设铁桶底面半径为，高为， 则由，得， 除去顶面的圆柱表面积为 . 现在求在（）内S的最小值， 因为， 令，得， 又， 所以是S的极小值点，此时． 由于S在（）内只有一个极值点，因此这个极值点也是S在（）内的最小值点，所以只要铁桶底面半径和高都为，就会使用料最省，如图4所示. 例4 用三块等宽的长方形木板，做成一个断面为梯形的槽，如图5所示，问斜角为多大时，水槽的截面积最大？并求此最大的面积． 解：设木板的宽为，水槽的高为，截面积为S， 则， 即， 现在求在内取何值时，函数S的值最大． 因为 令，得， 所以． 由于在内函数只有一个驻点， 故时，水槽的截面积最大， 其值为 ． 例5 已知横梁的强度和它的矩形断面的宽和高的平方之积成正比．现在要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的高和宽应是多少？ 解：如图6，设断面的宽为，高为，则横梁的强度为， 其中，，为比例常数． 因为 ， 令，得． 由于内函数只有一个驻点， 所以当宽，而高时，横梁的强度最大． 练习 1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值． （1）， （2）， （3）， 2.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．在四角截去多大的正方形，方能使做的铁盒容积最大？ 小结 通过上述例子可知，解决函数最大值或最小值的实际问题时，可采用以下步骤： （1）根据题意建立函数关系式. （2）确定函数的定义域. （3）利用导数求出函数在定义域内的驻点. （4）根据实际问题判断并求出函数的最大值或最小值. 作业 P65:1,3,4,5 板书设计 一 最大值最小值问题 例1 例2 例3 二 最值的应用 例4 例5 练习 小结 作业