分治算法讲解.pdf

. 分治算法 一：基本概念（分而治之） 分治就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题， 再把子问题分成 更小的子问题 ……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。 比如：二分查找，归并排序，快速排序，树的遍历等等 任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小， 越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于 n 个元素的排序问题，当 n=1 时，不需任何计算。 n=2 时，只要作一次比较即可排好序。 n=3 时只要作 3 次比较即可， …。 而当 n 较大时， 问题就不那么容易处理了。 要想直接解决一个规模较大的问题， 有时是相当 困难的。 二：基本思想 分治设计思想： 将一个大的问题，分解成一个个小的，相同类型的问题，然后逐个 击破各个小问题，最后将小问题逐步合并，得到最终的解。 （可能会用到递归，大问题里包 含小问题，找到规律然后解决） 分治基本策略： 对于一个规模为 n 的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模 n 较小） 则直接解决， 否则将其分解为 k 个规模较小的子问题， 这些子问题互相独立且与原问 题形式相同， 递归 地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。 三：分治使用情况 1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决 2) 该问题可以分解为相同类型的小问题（前提） 3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；（关键） 4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的， 即子问题之间不包含公共的子子问题。 第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了 第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。 四：基本步骤 （1）划分：把问题的实例划分成子问题 （2 ）求解：若是子问题比较简单，就直接解决，否则递归求解子问题 （3）合并：合并子问题的解得到原问题的解 课前引导： 一：分段函数 例如：高中数学中的分段函数也是类似分治思想的体现，如看图求 y 关于 x 的表达式。一个分段函数，反映的是 x 与 y 的关系，简单来说，就是在 R 的范 围内将 y 的表达式表示出来， 那么这时候利用分治的思想， 将 R区间划分为小区 间，然后分别求出各个小区间的表达式， 最后合并起来， 完成 y 关于 x 的表达式 的求解 二：大整数乘法 123 345 678 * 3 = 370 037 034 在这里我们可以这样写： . . 123 * 3 = 369 345 * 3 = 1035 678 * 3=2034 组合在一起是 369 1035 2034 。 对比发现，当使用千进制的时候结果变成了 370037034 首先他满足： 第一条件：分解到一定小规模的时候可以解决 第二条件：每个小规模都具有最佳子结构（在变量范围内，可以用来表示） 第三条件：每个小问题可以通过合并在一起形成