二次根式的知识点梳理与练习.docVIP

1 - 二次根式的知识点梳理与练习 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.??? 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.??? 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 练习： 1. 使式子有意义的条件是 。 2. 当时，有意义。 3. 若有意义，则的取值范围是 。 4. 当时，是二次根式。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 知识点五：二次根式的性质 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，?，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 练习： 6. 若，则的取值范围是 。 7. 已知，则的取值范围是 。 8. 化简：的结果是 。 9. 当时，。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 使等式成立的条件是 。 12. 若与互为相反数，则。 13. 在式子中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 15. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 16. 若，则（ ） A. B. C. D. 17. 若，则化简后为（ ） A. B. C. D. 18. 能使等式成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 19. 计算：的值是（ ） A. 0 B. C. D. 或 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【例题精选】 二次根式有意义的条件： 例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。 小练习：（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？ （2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？② （3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？ （4）当时，有意义。 2. 若有意义，则的取值范围是 。 最简二次根式 例2：把下列各根式化为最简二次根式： 分析：依据最简二次根式的概念进行化简， （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 同类根式： 例3：判断下列各组根式是否是同类根式： 分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次