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专题二 :二次函数存在性之角度问题
角度已知时
例题1 . 已知二次函数:y=ax2+(2a+1)x+2(a<0).
(1)求证:二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象;(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B(A在B的左侧),与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象,同时标出A,B,C,D的位置);
(3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA=75°?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
练习1 . 已知抛物线 y=ax2+bx+c 顶点 (2,?1) ,经过点 (0,3) ,且与直线 y=x?1
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在抛物线上恰好存在三点 Q,M,N ,满足 S△QAB=S△MAB
(3)在 A,B 之间的抛物线弧上是否存在点 P 满足 ?若存在,求点 P 的横坐标,若不存在,请说明理由.
角度相等时
例题1 . 如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(3,0),点C三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点D(2,m)在第一象限的抛物线上,连接BC,BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
练习1 . 如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,求线段DE长度的最大值;
(3)如图2,设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
角度成倍比关系时
例题1 . 如图,在平面直角坐标系中,直线y= 12 x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y= 12 x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点;①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1 , △BCE的面积为S2,求 S1S2
练习1 . 如图,抛物线y=kx2﹣2kx﹣3经过点P(4,5),过点P的直线AM:y=m x+t1(m<0)与抛物线交于点M,与x轴交于点A,过点P的另一直线BN:y=n x+t2(n>0)与抛物线交于点N,与x轴交于点B,已知PA=PB.
(1)写出抛物线的解析式为 ;
问题探究:若点M的横坐标为﹣3,则点N的横坐标为 ,若点M的横坐标为﹣4,则点N的横坐标为 ;
(2)结论猜想:若点M的横坐标为a,点N的横坐标为b,请根据(1)猜想a,b之间的数量关系为 ,并给予证明.
(3)综合应用:已知直线y=﹣x+n与抛物线y=﹣x2+4交于A,B两点,在抛物线上是否存在点P,连接PA,PB分别交y轴,x轴于点D,C,使∠DPB=2∠PCO,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
角度出现和差时
例题1 .如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=a+bx+c(a<0)经过点A(﹣1,0)、B(4,0)与y轴交于点C,tan∠ABC=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M在第一象限的抛物线上,ME平行y轴交直线BC于点E,连接AC、CE,当ME取值最大值时,求△ACE的面积.
(3)在y轴负半轴上取点D(0,﹣1),连接BD,在抛物线上是否存在点N,使∠BAN=∠ACO﹣∠OBD?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
练习1 . 已知在平面直角坐标系x O y中,O为坐标原点,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D.
(1)如图1,若该抛物线经过原点O,且a=﹣13 .①求点D的坐标及该抛物线的解析式;②连结CD,问:在抛物线上是否存在点P,使得∠POB+∠BCD=
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