无穷大和无穷穷小极限运算法则.ppt

数学分析的历史表明,很多变化状态比 较复杂的变量都可以转化为一种简单而重 要的变量,即所谓无穷小量常常把整个变量 的理论称为“无穷小量分析” Newton对微积分的探讨,可以说使用了无 穷小的方法意大利数学家、力学家736-1813 agrange曾用无穷小分析的方法,系统 地建立了动力学基础创立了“分析力学” Euer1748年写的二卷名著书名冠以 《无穷小分析引论》.瑞士数学家(1707-1783) 本节讨论极限的求法。利用极限的定义,从变 量的变化趋势来观察函数的极限,对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。 在实际应用中,经常会遇到极限为0的变量 对于这种变量不仅具有实际意义,而且更具有理 论价值,值得我们单独给出定义。 、无穷小 1.定义 极限为零的变量称为无穷小量简称无穷小 如,当x→0时,函数sinx是无穷小 当→时函数是无穷小增→删 皆非无穷小 当x→2时,函数-2是无穷小 当n→∞时数列是无穷小 无穷小是指在某个过程中函数变化的趋势 定义1Ve0不论它多么小380(或X0), 使得当0x-x0k8(或|xX) 恒有∫(x)kE 则称(x兴当x→x(或x→∞)时的无穷小记作 lim∫(x)=0(或imf(x)=0) x→x x→ 无穷小量”并不是表达量的大小,而是表 达它的变化状态的“无限制变小的量” 1无穷小是变量不能与很小很小的数混淆; 2)零是可以作为无穷小的唯一的数 3)称函数为无穷小,必须指明自变量的变化过程; 2无穷小与函数极限的关系: 定理1limf(x)=A∫(x)=A+a(x), x→x0 其中α(x)是当x→x0时的无穷小 证必要性设limf(x)=A,令a(x)=f(x)-A, x→x0 则有lima(x)=0,∴∫(x)=A+a( 充分性设f(x)=A+a(x), 其中α(x)是当x→x时的无穷小 则lim∫(x)=lim(A+a(x)=A+lima(x)=A x→x0 x→ x o 意义1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 2给出了函数f(x)在x附近的近似表达式 ∫f(x)≈A,误差为a(x 3无穷小的运算性质 定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小 证设a及β是当x→时的两个无穷小 Ve0,3N10,N20,使得 当xN时恒有a5;当xN时恒有阝5 取N=max{N1,N2},当xN时,恒有 c±阝≤o+ 阝B 2 E ∴α±β→0(x→∞) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如n→∞时,是无穷小, 但n个之和为不是无穷小 例求m1,2 +-2+…+2 n-o n 解n→∞时,是无穷小之和,先变形再求极限 1+2+…+n lim(2+2+…+-,)=lim 1→0 n→0 (n+ lil lim -(1+ n→① n→∞2 2 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证设函数在U(x0,81内有界, 则M0,810,使得当0x-x8时 恒有l≤M. 又设x是当x→x时的无穷小 ∴VE0,3820,使得当0x-x082时 恒有ax M 取8=min61,82,则当0x-x08时,恒有 ua=uaM. =E, 当x→x0时,·a为无穷小 推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小. 例如当x→Q时,xsin-,x2 arctan都是无穷小