无穷大量量与无穷小量.ppt

§2.5无穷小量与无穷大量 研究函数极限时,有两种变量非常重要.一种 是在极限过程中变量可以无限变小,而且要多么小 平就有多小;一种是在极限过程中,变量可以无限变 大,而且要多么大就有多大我们分别将它们称为无 c穷小量和无穷大量 王圆下■返回 无穷小量 定义以零为极限的变量称为无穷小量.例 lim -=0 =0 x→-0 lim e=0 王圆下■返回 注1很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0” 是无穷小量;而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极限值为0. 王注无穷小量与自变量的变化过程有关 无穷小量的性质 干性质1一 ①GA业 王圆下■返回 性质2有界变量f(x)与无穷小量a(x)之积仍为无穷 小量 证 例面m4但 面m5可=O 王圆下■返回 定理8(函数与其极限间的关系)函数f()的极限为A 的充要条件是函数f(x)等于A与无穷小量a的 和,即f(x)=A+a 证明→ 中设i)=则V0总存在一个时刻在此时刻以后 就恒有x)-4e,从而f(x)-A为无穷小量,空 则f(x)=A+a 设f(x)=A+a,且a为无穷小量,则VE0总存在 一个时刻,在此时刻以后,就恒有l=|f(x)4E 故limf(x)=A. 王圆下■返回 二.无穷大量 王定义若YMD函数()在其自变量的变化过 程中,总存在一个时刻,在此时刻以后,就恒有 lf(x)|M,则称函数f(x)为该变化过程下的无穷大 量记为一 注1无穷大量是一·个绝对值可以任意变大的变量, 而不是一个很大的常量当f(x)取正值无限增大 中(取负值绝对值无限增大时称为正无穷大量负 无穷大量) 记为工 注2通常血/)x 是极限不存在的记号;但它又不同于变量 (-D)(无限增大的趋势 ”学是是 王圆下■返回 无穷小量与无穷大量的关系: 定理9在自变量的同一变化趋势下,无穷大量的倒 数为无穷小量;非零无穷小量(不为零)的 倒数为无穷大量 由此定理可知,要证0a 只需证=0即可 上例1求3 42-5ct4 无穷小量阶的比较 无穷小量都是以0为极限,但它们 =2x N=x 趋于0的“速度”却不一定相同例 为了描述这种情况,有下述定义: 出设a(x),x)是同一极限过程中的两个无穷小量 王圆下■返回 (1)若则称(x)是比(x)更高阶的无穷 小量,记为a(x)=o() 生②2若×,则称a(与风是同阶的无穷 c小量特别地,当C=1时,则称a(x)与x)是等 4r价的无穷小量,记为a()~(x 3若数,则称a(x)是比(x)更低阶的无穷 小量,记为a(x)=O(B(x) 王圆下■返回