洛必达法则考的资料.ppt

研数学三经萼磲 件之 浴法则  复习 微分中值定理 一、罗尔(Role)定理」三、拉格朗日中值定理 设函数f(x)满足条件:设函数f(x)满足条件: (1)在闭区间[a,b]上连续;(1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b可导;(2)在开区间a,b)内可导; (3)∫(a)=∫(b), 则至少存在一点∈(a,b),则至少存在一点∈n,b) f()=0 f(5) f(b)-f(a) 22:16:01  、柯西中值定理 柯西(1789-1857 法国数学家,他对数学的贡献主要集中 在微积分学,复变函数和微分方程方面 生发表论文800余篇,著书7本,《柯西全集》 共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分 在几何上的应用》等,有思想有创建,对数学的影响广泛 而深远他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的 基础推动了数学分析的发展 22:16:01  柯西中值定理 若在拉格朗日定理的几何背景中曲线由参数方程 表示,由参数方程的导数公式可推出下述柯西定理。 定理设函数f(x)与g(x)满足:(1)在闭区间[ab 上连续,(2)在开区间a,b)内可导,(3)在开区间a,b) 内g(x)≠0,则至少存在一点 x=g(t) =f(1) 5∈(a,b),使得 B f()f(b)-f(a) g(2)g(b)-g(a) f(a 22:16:01  f(5)-(b)-f(a)g(x=x g(5) g(b)-g(a) KaF(5)=.(b)-f(a) b-a 中值定理之间关系 f(5)=0 在柯西定理中,若取g(x)=x,则得到拉格朗日定理。 因此,柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推广。 在拉格朗日定理中,若取f(a)=fb)则得到罗尔 定理。因此拉格朗日定理可以看成是罗尔定理的推广。 推 推 罗尔定理 拉格朗日定理=柯西定理 特例 特例 微分中值定理建立了函数在一个区间上的增量(整体 性)与该区间内某点处的导数(局部性)之间的关系,搭建了 导数与函数增量之间的桥梁,使导数成为研究函数性态 的玉具  洛义法则 确定未定式的极限是求极限的主要类型.常见的 未定式主要有:在同一极限过程下 由无穷小的商和无穷大的商形成的,型未定式; 由无穷小与无穷大的积形成的0.型未定式; 由无穷大与无穷大的差形成的-∞型未定式; 由无穷小与无穷大之间的幂形成的00,1°,型未定式 如何来求解这些未定式的极限? 法国数学家洛必达给出了解决这些未定式极限的 最有力工具 洛必达法则  、洛必达法则与,型未定式极限 0∞o 型未定式计算法 定理(洛比达法则)若x)和g(x)满足下列条件: (1) lim f(r)=0, lim g(x)=0; →x0 (2)在点x的某邻域内点x0可以除外,f(x)与g(x) 存在,且g(x)≠0; (3)加inf(x) =A(或∞) x→Xg(x) 则 lim lm(x=A(或 x→x0g(x)xx0g(x) 22:16:01  (二)型未定式计算法 定理(洛比达法则)若(x)和g(x)满足下列条件: (1) lim f(x)=oo, lim g(x)=oo, x→ x→)x (2)在x=x的某邻域内x=x0可以除外,f(x)与g(x) 存在,且g(x)≠0, Ir (3)lim =A(或∞) x→xg(x) 则 lim /( f(x) m =A(或∞) x→x0g( )x→xog(x) 22:16:02  说明:(1)对于求。或未定型极限的洛比达法则 不仅适用于极限过程x→x0,对于其它极限形式 x→x,x→x0,x→∞,x→±∞法则同样适用 (2在使用洛比达法则求极限时,判别是否为或 未定型是使用法则求极限的前提.若法则使用后仍为 0或未定型,则法则可以重复使用 lim f(x)= lim /(x)=lim /(x) ..= lim f(x) x→8(x)x→g(x)x→g,(x =A(或∞) x→xog(x) (r (3)im lim(f(x)). lim/x) x→x →x g(r) x→x 22:16:02  例1求 tan x 0 解原式=lim (tanx) =li secx x3-3x+20 例2求极限lm-3 x+10 解lim x3-3x+2 3x2-3 r+1=lim 2x-1 6x hi 注意:在多便用洛必送法则时,一定要注意验证 是否满足条件 22:16:02