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第四章物理学中常微分方程初值问题的数值解法
§4.1物理学中的常微分方程
§42常微分方程初值问题的一级、二级欧拉近似法
§4.3龙格-库塔法
§41物理学中的常微分方程
力学中的例子
●落体运动:作用力一重力、阻力一
阶常微分方程
牛顿方程:m
dt mg-Kvl
dv
●阻尼振动:作用力一弹性力、g二阶常微分方程
dv kx
KI
振动方程:
=-kx-K
问题:若已知v(0,x(O),求v(1)=?x()=?
二阶常微分方程
●对比阻尼振动的标准形式:
+2B,+nx=0(B
β:阻尼因子O:振子固有频率
●受迫振动
二阶常微分方程
d+2B +@ox= Fo sin at BOo)
●简谱振动实例:△MW!o
1.弹簧振子:忽略各种阻力和弹簧质量的理想模型
平衡位置:弹簧原长,选为原二阶齐次线性常微分方程
dr2-kr, der
+ox=0
2单摆:忽略阻力和摆线质量,摆锤可枧为质点,摆角小于5度
平衡位置:竖直位置;回复力矩
二阶齐次线性常微分方程
由转动定理:m
mgl,
三0
令
g
l20
+2=0
mg
3扭摆:忽略各种阻力,忽略弹性杆的质量
回复力矩:t==Cq
二阶齐次线性常微分方程
d-o
田牧硕疋理,
,
令
+a6g=0
4不计阻力和弹簧质量,竖直弹簧振子的运动也是简谐振动
回复力:f=mg-k(A+x)=-kx
阶齐次线性常微分方程原点
与水平弹簧振子也是简谐振动
0
F
动力学方程:2x
k
+ax=0
X , mg
二、电学中的例子
1、R放电电路
x(开关)R上电压:V=R
C上电压:V=q/C
电路方程:V+V=0(无电源)
RC放电电路
RI+qc=0
一阶常微分方程
∴R+q/C=0(1=dq/n)
dt
(与落体方程相当,求q(D)=?)
2、RL(电磁振荡电路
x(开关)R上电压:V=R
C上电压:V=q/C
L上电压:V=L
电路方程:V+VR+Vc=0
(无电源)
+R+=0
女2+Rqq=0
m与阻尼振动方程相当!问题:q()=?1()=?
、常微分方程数值解法的原理
1.高阶化为一阶方程
dy
=f(t,y,,)
dt
=f(t, z)
q
两个未知函数y(t),x(1)联合求解,
只需研究一阶方程的解法。
2.泰勒级数
设一阶微分方程=f(,y)的解为(,则
y(+△)=y(t)+y△t+y”(t),+y(t)+A
在级数中取若干项,得到近似方法:
◇一级欧拉法:取2项O(A2)(截断误差)
◇二级欧拉法:取3项OA3)
◇龙格一库塔法:取5项O(△)
42常微分方程初值问题的一级、二级欧拉近似法
一级欧拉近似法
1.基本公式
已知:
dy=f(t, y)
y(to)=yo
求:y(t)
ya1≈y2+y,△t=y1+f(t1,y,)△t
i=0,1,2AN,t,=i*△t
递推公式:y→y→y2→A→y
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