08-09学年高等代数II试B[1].docVIP

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 8 页 北 京 交 通 大 学 2008-2009学年第二学期《高等代数I I》期末考试试卷(B) 专业 信科 班级 学号 姓名 . 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 阅卷人 一、填空题(每小题3分,共30分) 1. 全体n阶实反对称矩阵, 关于矩阵的加法与数乘构成实数域上的线性空 间,它的维数等于 . 2.已知 ?1 = 1, ?2 = x, ?3 = x2, ?4 = x3 和 ?1 = 1, ?2 = 1+x, ?3 = (1+x)2, ?4 = (1+x)3 是线性空间的两组基, 则由基?1, ?2, ?3, ?4到基?1, ?2, ?3, ?4的过渡矩阵是 . 3. 中的向量在基下的坐标是, 则在基下的坐标是 . 4. 设矩阵有3个线性无关的特征向量，则= . 5. 设欧氏空间V的两组基?1, ?2, ?, ?n与 ?1, ?2, ?, ?n的度量矩阵分别 是A与B,从基?1, ?2, ?, ?n到 ?1, ?2, ?, ?n的过渡矩阵是C, 则A与B之间 的关系是 . 6.上线性变换A（其定义为A）的值域的一组基是 　　　．核的维数为 　　　． 7. 以下断言正确的有 ( ) (A) 设是n维线性空间的子空间。若，则和是直和； (B) 若阶方阵有个不同的特征值，则可以对角化； (C) 阶方阵的最小多项式的次数必小于； (D) 有限维欧氏空间中保持长度不变的变换一定是正交变换。 8. 以下集合对于所指的线性运算构成实数域上线性空间的有 ( ) (A) 次数等于3的实系数一元多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； (B) 全体阶实对称矩阵, 关于矩阵的加法和数量乘法； (C) 平面上不平行于 轴的向量全体，关于向量的加法与数量乘法； (D) 平面上的全体向量，关于向量的加法和以下定义的数量乘法： （其中是零向量）。 9. 下列变换A中，是线性变换的有 ( ) (A) 在中，A； (B) 在中，A； (C) 在中，A，其中是n 阶单位矩阵； (D) 把复数域看作复数域上线性空间，定义 A 其中是复数的共轭 。 10. 对线性空间R2中以下函数f，不是线性函数的有 ( ) (A) f(x1, x2) = 4x1 + x2log38 ； (B) f(x1, x2) = x1 + 4x2 + 4； (C) f(x1, x2) = x12 + x1x2 + x22 ； (D) f(x1, x2) = sinx1 + cosx2 。 二、（12分）记为实数域上3阶方阵全体，则关于矩阵的加法与数乘构成实数域上线性空间。设，令 。 （1）证明是的一个子空间； （2）求的维数和一组基。 （12分） 在线性空间中定义线性变换A为 A， 求A在基下的矩阵； 求的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵，并写出该对角阵。 四、（12分）求矩阵的不变因子、最小多项式和Jordan标准形。 五、（12分）设 是欧氏空间V的一组基, 这组基的度量矩阵是 。 又设 ， 证明 是一个单位向量； 求使与 正交； 把所求出的单位化, 并记作 ； 给出正交补空间的一组基。 六、（7分）设是线性空间的一组基，是它的对偶基。记 证明也是的一组基，并用表示的对偶基。 七、证明题 (每小题5分，共15分） 1. 设分别是数域上齐次线性方程组与的解空间。证明可表为与的直和。 2．设是阶非零方阵，且存在正整数使为零矩阵。证明不能相似于对角阵。 3. 设是n维欧氏空间的一个标准正交向量组。证明关于中任意向量，都有下面的不等式成立： 。