《控制工程基础》（张磊）第七章线性离散系统.pptVIP

8.5 离散系统的分析 1. 稳定性 ① z平面的单位圆内部：x2+y21 u0，即w平面的左半平面。 ② z平面的单位圆外部：x2+y21 u0，即w平面的右半平面。 ③ z平面的单位圆上：x2+y2=1 u=0，即w平面的虚轴。 0 u jv w平面 z平面 x jy 0 -1 利用劳斯判据判定离散系统的稳定性： ① 通过双线性变换将特征方程D(z)=0变为新的特征方程D(w)=0； ② 对于新的特征方程D(w)=0，利用劳斯判据判定系统的稳定性。 解 例 已知离散系统的特征方程为 将 代入上面的特征方程，得 w3 2.45 1.52 w2 3.62 0.4 w1 1.25 w0 0.4 Routh阵列表 Routh表中第一列元素均为正，故离散系统稳定。 试判定离散系统的稳定性。 1. 稳定性 7.5 离散系统的分析 * 2. 稳态误差 离散系统的稳态响应特性与连续系统类似，它是用稳态误差来表征的，且稳态误差的大小取决于系统的特性(结构和参数)和输入信号的形式，仍然与系统的无差度(或系统的型别)有关。下面介绍计算线性离散系统稳态误差的终值定理和静态误差系数法。 7.5 离散系统的分析 * 1) 终值定理 误差脉冲传递函数 r(t) e(t) e*(t) c(t) E(z) 图 8.41 单位反馈离散系统 误差 当系统稳定，即Φe(z)的全部极点都位于z平面的单位圆内时，应用终值定理可得稳态误差 2. 稳态误差 7.5 离散系统的分析 * 2) 误差系数法 系统的型别：若系统的开环脉冲传递函数G(z)含有ν个z=1的开环极点，则称之为ν型系统或系统的无差度为ν 。 ① 阶跃输入信号 r(t)=r0·1(t) 式中 -- 静态位置误差系数 2. 稳态误差 7.5 离散系统的分析 * ② 速度输入信号 r(t)=v0t 式中 -- 静态速度误差系数 2. 稳态误差 7.5 离散系统的分析 * ③ 加速度输入信号 r(t)=a0t2/2 式中 -- 静态加速度误差系数 2. 稳态误差 7.5 离散系统的分析 * 表 8.3 在给定输入作用下离散系统的稳态误差 系统型别 r(t)=r0·1(t) r(t)=v0t r(t)=a0t2/2 0型 ∞ ∞ 1型 0 ∞ 2型 0 0 2. 稳态误差 7.5 离散系统的分析 * 例 8.25 已知离散系统的结构如图 8.40 所示，采样周期T=1秒，求在 r(t)=3+4t 作用下系统的稳态误差。 r(t) e(t) e*(t) c(t) 图 8.40 例 8.25 离散系统的结构图 解 开环脉冲传递函数为 2. 稳态误差 7.5 离散系统的分析 * 系统特征方程为 即 解得特征根 特征根均位于平面的单位圆内，故系统稳定。 静态误差系数分别为 则系统的稳态误差为 2. 稳态误差 7.5 离散系统的分析 * 3. 动态性能 由阶跃响应求性能指标的步骤如下： 1) 时域响应与动态性能指标 (1) 由闭环脉冲传递函数Φ(z) ，求输出量的z变换： (2) 利用长除法将上式展开成幂级数，通过z反变换求得c*(t)。 (3) 由c*(t)在各采样时刻的值，得到σp%、tr、tp、ts等性能指标。其中σp%为最高采样值的超调量； tr为第一次等于或接近稳态值所对应的采样时刻； tp为最高采样值所对应的采样时刻； ts为进入允许误差范围时采样点所对应的采样时刻。 7.5 离散系统的分析 * 解 开环脉冲传递函数为 例 已知离散系统如图所示，T=1(s)，r(t)=1(t)，试求系统的性能指标。 r(t) e(t) e*(t) c(t) 闭环脉冲传递函数为 3. 动态性能 7.5 离散系统的分析 * 单位阶跃响应的z变换为 用长除法将C(z)展成幂级数： 3. 动态性能 7.5 离散系统的分析 * z反变换得 3. 动态性能 7.5 离散系统的分析 * 根据上述各时刻采样值c(nT)(n=0,1,2, ···)可以绘出离散系统的单位阶跃响应如图所示，由图可以求得给定离散系统的近似性能指标为： σp%=40%、tr=2(s)、tp=4(s)、ts=12(s) 3. 动态性能 7.5 离散系统的分析 离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的分布对系统的动态响应具有重要影响。确定它们之间的关系，对分析和设计离散系统具有指导意义。 2) 闭环极点分布与瞬态响应的关系 线性离散系统的闭环脉冲传递函数 3. 动态性能 7.5 离散系统的分析 单位阶跃响应 -- 稳态分量 -- 暂态分量 3. 动态性能 7.5 离散系统的分析 图 8.41(a) 闭环实极点分布与相应的动态响应形式 0pk1 单调衰减过程 -1pk0：正负交替振荡的衰减过程 P