点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用.pdfVIP

学习好资料 欢迎下载 点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它 的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、 中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗 浅的探讨，以飨读者。 x y2 2  1 a b l 定理 在双曲线 （ ＞0， ＞0）中，若直线 与双曲线相交于M、N两点，点 a b2 2 y b2 P(x ,y )是弦MN 的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则l k k  0 . 0 0 MN MN x a2 0 x y2 2  1  1,1 (1) a b2 2 (x ,y ) (x ,y ) 证明：设M、N两点的坐标分别为 、 ，则有 1 1 2 2 2 2 x y 2  2 1. (2) a b2 2  x x2 2 y y2 2 (1)(2)，得 1 2  1 2 0. a2 b2 y y y y b2  2 1  2 1  . x x x x a2 2 1 2 1 y y y y 2y y 又k  2 1 , 1 2  0  .0 MN x x x x 2x x 2 1 1 2 0 0 y b2 0 k   . MN x a2 0 y x2 2  1 a b l 同理可证，在双曲线 （ ＞0， ＞0）中，若直线 与双曲线相交于M、N两点，