高中数学必修四第一章知识点梳理-.doc

高中数学必修四第一章知识点梳理 一、角的概念的推广 ●任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见，正确理解正角、 负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合时， 那么角的终边在第几象限（终边的端点除外） ，就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合时， 终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成集合 S={β | β =α+k 360° ,k ∈ Z} ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和。 二、弧度制 ●角度定义制 规定周角的 1 为一度的角，记做 1°， 360 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为 60 进制。 ●弧度制定义 1 、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做 1 弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制。 1 弧度记做 1rad 。 2 、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角 α ，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无 关，而是一个仅与角 α 有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. 如果 半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧的长为 l ，那么，角 α 的弧度数的绝对值是 |α| l 。 r α 的正负由角 α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义 设 α是一个任意大小的角， α的终边上任意点 P 的坐标是（ x,y ），它与原点的距离 r （ r x2 y2 0 ），那么 1、比值 y 叫做α的正弦，记做 sin ，即 sin y 。 r r 2、比值 x 叫做 的余弦，记做 cos ，即 cos x 。 r α r 3、比值 y 叫做α的正切，记做 tan ，即 tan y 。 x x 另外，我们把比值 x 叫做α的余切，记做 cot ，即 cot x ；把比值 r 叫做α的正割， y y x 记做 sec ，即 sec r r 叫做 的余割，记做 csc ，即 csc r x y y 对于一个确定的角 α，上述的比值是唯一确定的， 它们都可以看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射， 是以角为自变量， 以比值为函数值的函数， 我们把它们统称为三角函数。●诱导公式一 终边相同角的同一个三角函数的值相等。 sin( k 2 ) sin ， cos( k 2 ) cos ， tan( k 2 ) tan ，以上 k∈ Z。 利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求 0 到 2π 角的三角函数值。 ●正弦线、余弦线、正切线 y 1、如图所示，设任意角 α的终边与单位圆交于点 P（ x,y ），那么 s i n y y P r y ， 1 c o s x x 。 o M x r x 1 过点 P（ x,y）作 PM⊥ x 轴于 M，我们把线段 MP， OM都看做规定 了方向的有向线段：当 MP的方向与 y 轴的正方向一致时， MP是正的；当 MP的方向与 y 轴的负方向一致时， MP是负的。因此，有向线段 MP的符号与点 P 纵坐标的符号总是一致 的，且 |MP|=|y| ，即总有 MP=y。同理也有 OM=x成立。从而 siny MP cos x OM 。 ， 我们把单位圆中规定了方向的线段 MP， OM分别叫做角 α的正弦线、余弦线。 2、如图所示，过 A （ 1,0）作 x 轴的垂线，交 α y 的终边 OP 的 延长线（当 α为第一、四象限角时）或这条终边的反向延 长线（当 α为第二、三象限角时）于点 T ，借助于有向线 P T y AT 段 OA ， AT，我们有 tan AT 。于是，我们 A x OA O M x 把规定了方向的线段 AT 叫做 α的正切线。 特别地，当 α的终边在 x 轴上时，点 A 与点 T 重合， tan AT 0 α 与垂线平行，正切线不存在。 ；当 的终边落在 y 轴上时， OP 四、同角三角函数的基本关系 ●同角三角函数的基本关系 根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。 由三角函数定义有 sin y ， cos x y r ， tan 。 r x ① sin 2 2 ( y 2 x 2 x2 y2 r 2 1，即