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第 5 课时 解三角形的实际应用
1.
掌握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义.
2
学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题
.
.
3.
学会解三角形应用题的一般步骤 .
中国的“海洋国土”面积约 300 万平方公里 , 海洋权益在国家利益中的地位更加凸显 .
近几年 , 我国海军先后参加了为打击海盗进行的亚丁湾护航 , 并开始走出近海 , 深入远海进行
演习 , 实力在不断增强 , 为护卫我们的“蓝色国土”提供了坚实的保障 .
2005 年 7 月 11 日 , 是中国伟大航海家郑和下西洋 600 周年纪念日 . 2005 年 4 月 25 日 ,
经国务院批准 , 将每年的 7 月 11 日确立为中国“航海日” , 作为国家的重要节日固定下来 ,
海洋强国正成为 13 亿华夏儿女的共同梦想 .
问题 1: 海军在海上航行时 , 定位船只或者自身位置的手段已经非常先进
人们在海上航行时 , 定位船只的方法通常是根据方位角、 方向角和距离来进行的
位角、方向角呢 ?
方位角:
. 在较早时期 ,
. 那么何为方
; 方 向
角 : . 此外 , 在测量以及确定方位时 , 我们能接触到的还
有俯角 : 和仰
角: , 这些是测量中的常用的名词 , 在我
们的学习中也会经常出现 .
问题 2: 正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些 ?
(1) a∶b∶c=
;
(2) R
为△ ABC 外接圆的半径
, 则
sin
A=
,sin
B=
,sin
C=
;
(3) 余弦定理的推论可以用式子表示为
cos
A=
,cos
B=
,cos
C=
.
问题 3: 在解三角形应用问题时 , 一般在处理问题时要分几个步骤 ?
分如下四个步骤 :
(1) : 理解题意 , 分清已知与未知 , 画出示意图 .
(2) : 根据已知条件与求解目标 , 将实际问题转化为抽象的数学问题
(3) : 利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形 , 求得数学模型的解
(4) : 检验上述所求的解是否具有实际意义 , 从而得出实际问题的解
.
.
.
出
问题 4: 解斜三角形应用题的步骤是怎么样的 ?
应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题 , 一般是根据题意 , 从实际问题中抽象
, 通过解这些三角形 , 从而使实际问题得到解决 . 解题时应认真审题 , 未给图形
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的, 可以先画出示意
如 、 、
精确度 .
图
,要理解好应用题中有关的名词、术语、 等 , 要注意解的实际意义以及题目中给出的
,
1. 若 P 在 Q的北偏东
44°50 , 则 Q在 P的(
) .
A. 东偏北 45°10
B. 东偏北 45°50
C 南偏西 44°50
D 南偏西 45°50
.
.
2. 一船向正北航行
, 看见正西方向相距
10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上
, 继续航行
半小时后 , 看见一灯塔在船的南偏西
60°, 另一灯塔在船的南偏西
75°, 则这艘船的航行速
度是每小时 (
) .
A5海里B5
海里
C10海里
D 10
海里
.
.
.
.
3. 在直径为
30 m的圆形广场中央上空
, 设置一个照明光源 , 射向地面的光呈圆形
, 且其轴截面
顶角为 120°, 若要光源恰好照到整个广场
, 则光源的高度为
m
.
4. 在同一平面内 , 在 A处测得 B点的仰角是
50°, 且到 A的距离为 2, C点的俯角为 70°, 且到
A的距离为 3, 求 B、C间的距离 .
利用正、余弦定理求解距离问题
如图所示 , 隔河看两目标 A, B, 但不能到达 , 在岸边选取相距 千米的 ∠ACB=75°, ∠ BCD=45°, ∠ ADC=30°, ∠ ADB=45°(A, B, C, D在同一平面内
C,D 两点 ,并测得
), 求两目标 A, B之
间的距离 .
利用正、余弦定理求解高度问题
如图 , 山脚下有一小塔 AB, 在塔底 B测得山顶 C的仰角为 60°, 在山顶 C测得塔顶 A的俯角为 45°, 已知塔高 AB=20 m, 求山高 CD.
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利用正、余弦定理求解角度问题
在一次海上联合作战演习中 , 红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向 , 相距 12 n mile
的水面上 , 有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进 , 若侦察艇
以每小时 14 n mile 的速度 , 沿北偏东 45° +α 方向拦截蓝方的小艇 . 若要在最短的时间内拦截住 , 求红方侦察艇所需的时间
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