2012高考理数 导数大题专题汇编.docVIP

重庆 16、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设其中，曲线在点处的切线垂直于轴. （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ） 求函数的极值. 解：（1）因，故 由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即， 从而，解得 （2）由（1）知， 令，解得（因不在定义域内，舍去）， 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数； 故在处取得极小值。 北京 18．（本小题共13分） 已知函数，. （1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值； （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值. 解：（?）由为公共切点可得： ，则，， ，则，， ① 又，， ，即，代入①式可得：． （2），设 则，令，解得：，； ，， 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增 ①若，即时，最大值为； ②若，即时，最大值为 ③若时，即时，最大值为． 综上所述： 当时，最大值为；当时，最大值为． 福建 （本小题满分14分） 已知函数 （Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间； （Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。 （Ⅰ） 由题意得： 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （Ⅱ）设； 则过切点的切线方程为 令；则 切线与曲线只有一个公共点只有一个根 ，且 （1）当时， 得：当且仅当时， 由的任意性，不符合条件（lby lfx） （2）当时，令 ①当时， 当且仅当时，在上单调递增 只有一个根 ②当时， 得：，又 存在两个数使， 得：又 存在使，与条件不符。 ③当时，同理可证，与条件不符 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点 广东 21.（本小题满分14分） 设，集合，，。 （1）求集合（用区间表示） （2）求函数在内的极值点。 【解析】（1）对于方程 判别式 因为，所以 当时，，此时，所以； 当时，，此时，所以； 当时，，设方程的两根为且，则 ， 当时，，，所以 此时， 当时，，所以 此时， （2）， 所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数 ①是极点 ②是极点 得：时，函数无极值点，时，函数极值点为， 时，函数极值点为与 湖南 22.（本小题满分13分） 已知函数=，其中a≠0. 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合. （2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又， 故. 而令 当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值 于是对一切恒成立，当且仅当 　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 令则 当时，单调递增；当时，单调递减. 故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立. 综上所述，的取值集合为. （Ⅱ）由题意知， 令则 令，则. 当时，单调递减；当时，单调递增. 故当，即 从而，又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， . 综上所述，存在使成立.且的取值范围为 .（lbyl fx） 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 江苏 18．（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。 已知是实数，1和是函数的两个极值点． （1）求和的值； （2）设函数的导函数，求的极值点； （3）设，其中，求函数的零点个数． 【答案】解：（1）由，得。 ∵1和是函数的两个极值点， ∴ ，，解得。 （2）∵ 由（1）得， ， ∴，解得。 ∵当时，；当时，， ∴是的极值点。 ∵当或时，，∴ 不是的极值点。 ∴的极值点是－2。 （3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的