“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛(天津赛区)试题参考答案及评分标准.doc

学习必备 欢迎下载 “《数学周报》杯” 20XX 年全国初中数学竞赛 （3）若 x 1， y 0，且满足 y x y 3 xy x ， x ，则 x y 的值为 ( ). y （天津赛区）试题参考答案及评分标准 （A ）1 （B）2 （C） 9 2 （D） 11 2 【答】 C． 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） 5 3 x ，则代数式 x(x 1)( x 2)( x 3)的值为 ( ). 2 （1）设 （A ）0 （B）1 （C）﹣1 （D）2 故 y 1 3 y 4y 1 x yx x ，所以 4y 1 1． 9 x y ． 2 解： 由题设可知 y x ，于是 1 y ，从而 x 4 ．于是 2 【答】 C． 2 3 1 0 x x ，于是 解： 由已知得 2 2 x(x 1)(x 2)( x 3) (x 3x)( x 3x 2) （4）设 1 1 1 1 S ，则 4S的整数部分等于 ( ). 3 3 3 3 1 2 3 2011 2 2 (x 3x 1) 1 1. （A ）4 （B）5 （C）6 （D）7 【答】 A． （2）已知 x，y，z为实数，且满足 x 2y 5z 3， x 2y z 5 ，则 2 2 2 x y z 的最小值为 ( ). 解：当k 2，3， ，2011，因为 1 1 1 1 1 3 2 k k k 1 2 k 1 k k k 1 ， （A ） 1 11 （B）0 （C）5 （D） 54 11 所以 1 1 1 1 1 1 5 1 S 1 1 ． 3 3 3 2 3 2011 2 2 2011 2012 4 【答】 D． 于是有 4 4S 5，故 4S的整数部分等于 4． （5）点 D，E 分别在△ ABC 的边 AB，AC上， BE，CD 相交于点 F ，设 x 2y 5z 3， x 3z 1， 解：由 x 2y z 5 ， 可得 y z 2. S四边形 S，S S，S S，S S ， EADF 1 BDF 2 BCF 3 CEF 4 于是 2 2 2 11 2 2 5 x y z z z ． 则 S S 与 S2 S4 的大小关系为 ( ). 1 3 因此，当 1 z 时， 11 2 2 2 x y z 的最小值为 54 11 ． （A ） S S S S （B） S1S3 S2S4 1 3 2 4 学习必备 欢迎下载 （C） SS S S （D）不能确定 1 3 2 4 【答】 C． 解： 如图，连接 DE ，设 S S ， DEF 1 （8 ）若 1 y 1 x x 的最大值为 a，最小值为 b，则 2 2 2 a b 的值 为 . S EF S 则 1 4 S BF S 2 3 ，从而有 S S S S ．因为 S1 S1 ，所以 S1S3 S2S4 ． 1 3 2 4 【答】 3 2 ． 二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 解： 由1 x≥0，且 1 x ≥0，得 2 1 2 ≤ x ≤1． （6）两条直角边长分别是整数 a，b（其中 b 2011），斜边长是 b 1的直角 三角形的个数为 . 2 1 2 3 1 1 3 2 1 y 2 x x 2 (x ) ． 2 2 2 2 4 16 【答】 31． 解： 由勾股定理 , 得 a2 (b 1)2 b2 2b 1．因为 b 是整数， b 2011， 由于 1 3 1，所以当 2 4 3 x = 时， 4 2 y 取到最大值 1，故 a =1． 所以 2 a 是 1 到 4023 之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有 31 个，即 当 1 x = 或 1 时， 2 2 y 取到最小值 1 2 ，故 2 b = ．所以， 2 2 2 3 a b ． 2 2 2 2 3 ，5 ， ，63 ．因此 a 一定是 3，5，?，63，故满足条件的直角三角形的个数为 31． （9）如图，双曲线 y 2 x （x＞0）与矩形 OABC 的边 CB， BA 分别交于点 E， F，且 AF=BF ，连接 EF ，则△ OEF 的面积为 . （7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，2，3，3，4； 【答】 3 2 ． 另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，3，4，5，6，8. 同时掷 解： 如图，设点 B 的坐标为（a, b）, 则点 F 的坐标 这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为 7 的概率是 . 【答】 1 6 ． b 为 （a，）. 因为点 F 在双曲线 2 又点 E在双曲线上，且纵坐标 y 2 x 上，所以 ab 4. 解： 在 36 对可能出现的结果中，有 6 对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3， 6 1 4），（3，4