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课 时 授 课 计 划 第 23 次课 【教学课题】： 第三章 空间力系 【教学目的】： 理解空间力系的平衡条件 【教学重点及处理方法】 ： 空间力系平衡问题的平面解法 处理方法： 详细讲解 【教学难点及处理方法】 ： 空间力系的平衡空间力系的定义， 空间力系的计算及平衡问题。 处理方法： 结合例题分析讲解 【教学方法】 : 讲授法 【教具】： 三角板【时间分配】：  引入新课 5min 新课 80 min 小结、作业 5min 第二十三次课 【提示启发 引出新课】 力系中各力的作用线不在同一平面内，该力系称为空间力系。 根据力的作用线的关系可以分为空间汇交力系、 空间平行力系、 空间任 意力系。本次课讨论空间力系的平衡问题。 【新课内容】 第三章 空间力系 空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。 3.1 力的投影和力对轴之矩 3.1.1 力在空间直角坐标轴上的投影 1. 一次投影法 设空间直角坐标系的三个坐标轴如图所示，已知力  F 与三个坐 标轴所夹的锐角分别为 、 、 , 则力 F 在三个轴上的投影等 于力的大小乘以该夹角的余弦，即 2. 二次投影法 有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但没有直接给出这个 力与坐标轴的夹角，而必须改用二次投影法。 如图所示， 若已知力 F 与 z 轴的夹角为 ，力 F 和 z 轴所确定的 平面与 x 轴的夹角为 ，可先将力 F 在 oxy 平面上投影，然后再向 x、 y 轴进行投影。则力在三个坐标轴上的投影分别为 反过来，若已知力在三个坐标轴上的投影  Fx、Fy、Fz，也可求 出力的大小和方向，即 例 3-1 斜齿圆柱齿轮上 A 点受到啮合力 Fn 的作用， Fn 沿齿廓在 接触处的法线方向，如图所示。 n 为压力角，β 为斜齿轮的螺旋角。 试计算圆周力 Ft 、径向力 Fr 、轴向力 Fa 的大小。 解 建立图示直角坐标系 Axyz, 先将法向力 Fn 向平面 Axy 投影得 Fxy，其大小为 Fxy=Fncos n 向 z 轴投影得径向力 Fr=Fnsin n 然后再将 Fxy 向 x、y 轴上投影，如图所示。因 = β ，得 圆周力 Ft=Fxycos β =Fncos ncosβ 轴向力 Fa=Fxysin β =Fncos nsin β 3.1.2 力对轴之矩 在平面力系中，建立了力对点之矩的概念。力对点的矩，实际 上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩。 以推门为例，如图所示。门上作用一力 F，使其绕固定轴 z 转动。现将力 F 分解为平行于 z 轴的分力 Fz 和垂直于 z 轴的分力 Fxy（此分力的大小即为力 F 在垂直于 z 轴的平面 A 上的投影）。由经验可知，分力 Fz 不能使静止的门绕 z 轴转动，所以分力 Fz 对 z 轴之矩为零； 只有分力 Fxy 才能使静止的门绕 z 轴转动，即 Fxy 对 z 轴之矩就是力 F 对 z轴之矩。现用符号 Mz（F）表示力 F 对 z 轴之矩，点 O为平面 A 与 z 轴的交点， d 为点 O到力 Fxy 作用线的距离。因此力 F 对 z 轴之矩为 上式表明：力对轴之矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影 对该轴与平面交点之矩。力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度 量，是一个代数量。其正负号可按下法确定：从 z 轴正端来看，若力矩 逆时针，规定为正，反之为负。 力对轴之矩等于零的情况： （ 1）当力与轴相交时（此时  d=0）； （2）当力与轴平行时。 3.1.3 合力矩定理 如一空间力系由 F1、F2、?、 Fn 组成，其合力为 FR，则 可证明合力 FR对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。写为 题 3-1 在如图所示边长 a=12cm,b=16cm,c=10cm的六面体上，作用力 F1=2kN, F2=2kN,F3=4kN, 试计算各力在坐标轴上的投影。 3.2 空间力系的平衡 3.2.1 空间力系的简化力偶矩矢 设物体上作用空间力系 F1、F2、?、Fn，如图所示。与平 面任意力系的简化方法一样， 在物体内任取一点 O作为简化中心， 依据 力的平移定理，将图中各力平移到 O点，加上相应的附加力偶，这样就 可得到一个作用于简化中心 O 点的空间汇交力系和一个附加的空间力 偶系。将作用于简化中心的汇交力系和附加的空间力偶系分别合成，  便 可以得到一个作用于简化中心 O点的主矢 FR 和一个主矩 MO。 主矢 FR 的大小为 主矩 MO的大小为 3.2.2 空间力系的平衡方程及其应