八年级培优提升专题(六) 特殊的平行四边形.docVIP

培优提升专题（六）特殊的平行四边形 一．基础知识回顾 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 2．常考知识点：⑴矩形：对角线相等且互相平分；⑵菱形：对角线互相垂直平分；⑶正方形：四边相等、对角线相等且互相垂直平分、对称性； 二．典例分析 1．已知，如图，矩形中，对角线相交于，于， 若，则= 例2题图 2．如图，已知矩形中，将沿对角线折叠，记点的对应点为， 例2题图 若，则= 3．如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②， 再沿折叠成图③，则图③中的的度数是 4．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，点在上，且。 （1）求证：四边形是平行四边形；（2）当的大小满足什么条件时，四边形是菱形？ （3）四边形有可能是正方形吗，为什么？ 5．如图，菱形的边长为2，、分别是边上的两个动点， 且满足。⑴判断的形状，并说明理由；⑵设的面积为，求的取值范围。 6．有一个边长为5的正方形纸片，要将其剪拼成边长分别为的两个小正方形，使得。⑴的值可以 是 （写出一组即可）；⑵请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法 具有一般性。 7．如图，边长为1的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形， 使，连接，再以为边作第三个菱形，使；…，按此规律所作的第 个菱形的边长为 ，面积为 。 例7题图 8．如图，在中，，，。点是的中点，过点的直线从与 例7题图 重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点。过点作交直线于点，设直线的旋转角为。⑴当= 时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ； ⑵当= 时，四边形是直角梯形，，此时的长为 ； ⑶当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由。 9．已知正方形，如图，是其内部一点，， 连接，若，求证：为正三角形。 10．已知矩形和点。 ⑴当点在图①的位置时，则有结论：，请证明⑵当点在图②、图③中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明。 11．⑴如图①，已知正方形和正方形， 在同一条直线上，为线段的中点，探究：线段的关系； ⑵若将正方形绕点顺指针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点。 试问：⑴中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 三．随堂练习 1．如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方 向旋转能与重合，若，则= 。 2．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放着的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放着的四个正方形的面积依次是、、、，则= 。 3．如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形， 再以对角线为边作第三个正方形，如此下去…，则第个正方形边长为 。 4．如图，将边长为8㎝的正方形纸片折叠，使点落在边中点处， 点落在点处，折痕为，则线段的长为 。 5．如图，已知中，对角线交于点，是延长线上的点， 且是等边三角形。⑴求证：四边形是菱形； ⑵若，求证：四边形是正方形。 四.课后作业 1．如图，将三角板的直角顶点放在正方形的对角线上， （1题图）绕点转动三角板，三角板的两条直角边分别交于，交于。 （1题图） （2题图）⑴求证：；⑵线段与三者之间有何数量关系，用等式表示并说明理由。 （2题图） 2．如图，分别为正方形的边上的点，且 （3题图），则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为　　 （3题图） 3．如图，平行于正方形的对角线，点在上，且，，则= 。 4．如图，已知正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形的边上，，连接。 ⑴当时，求的面积；⑵设，用含的代数式表示的面积； ⑶判断的面积能否等于1，并说明理由。 5．如图，扇形的半径，圆心角，点是上异于 （5题图）（4题图）的动点，过点作于点，作于点，连接，且。 （5题图） （4题图） ⑴求证：四边形是平行四边形；⑵当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该 线段的长度； ⑶求证：是定值。 6．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点。 当绕点旋转到时（如图①），易证：；⑴当绕点旋转到时（如图②），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。⑵当绕点旋转到如图③的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。 （6题图 = 3 \* GB3 （6题图 = 3 \* GB3 ③） （6题图 = 2 \* GB3 ②） （6题图 = 1 \* GB3 ①）