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第四课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课标要求
素养要求
1.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公式变形应用.
在二倍角公式的推导中,经历由特殊到一般的逻辑推理过程,发展学生的数学运算素养.
教材知识探究
金刚石晶体的碳-碳键键角约为55°,大雁南迁排成的“人”字形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°,这是巧合还是大自然的“默契”?
研究表明,金刚石碳-碳键键角约为55°时,是最稳定的结构;大雁“人”字形队列夹角为55°时,后面的大雁可以利用前面的翼尖涡流,提高升力,以达到省力的作用.大自然真是神秘奇妙呀!
问题 1.“人”字形角度的2倍即110度,这其中蕴含着什么样的数学关系?
2.我们能否利用两角和与差的三角函数公式,推导出二倍角三角函数公式?如何推导?
提示 1.倍角关系.
2.能.例如在两角和的余弦公式中,用α代替β,即α得到cos 2α=cos2α-sin2α.
二倍角
恰当地理解“倍数”关系,能帮助快速解题
的正弦、余弦、正切公式
以上这些公式都叫做倍角公式,倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.
2sin αcos α
2cos2α-1
1-2sin2α
√
√
×
×
√
4.函数y=sin2x-cos2x的最小正周期为________.
解析 y=sin2x-cos2x=-(cos2x-sin2x)=-cos 2x,
∴T=π.
答案 π
[微思考]
1.在推导二倍角公式的过程中,二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成立吗?
2.sin 2α,cos 2α,tan 2α的公式中,2α是α的倍角,角α一定为具体角吗?如何理解倍角的含义呢?
题型一
构造倍角公式的形式是关键
给角求值问题
(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
规律方法 探究三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;
(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;
(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;
(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等;
(5)利用“1”的恒等变形,如tan45°=1,sin2α+cos2α=1等.
证明 原式变形为1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ),(*)
而(*)式右边=tan 2θ(1+cos 4θ+sin 4θ)
∴(*)式成立,即原式得证.
答案 D
答案 A
答案 B
答案 B
答案 B
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