第五章 量子相位.pdf

第五章 量子力学中的相位与量子不变算符理论 波函数乘上位相因子exp(iδ) ，并不改变粒子的几率分布。换言之，位相因子δ是不确定 的。这说明，只限于统计解释还不能穷尽对波函数的认识。越来越多的实验事实表明，波函 数的位相是一个非常重要的物理概念。 §5.1 量子相位 一、波函数与薛定谔方程 在量子力学中，波函数满足薛定谔方程，即 2 2 ∂ − ∇ Ψ(x ,y , z ,t) +UΨ(x , y , z ,t) i Ψ(x , y , z ,t) 2m ∂t 如果系统势能U 不随时间变化，波函数可以分离变量为 Ψ(x , y , z , t) Ψ(x , y , z )f (t) ， 可解出f (t ) exp (=−iE t / )，则： 2 2m ∇ Ψ(x , y , z ) + (E −U)Ψ(x , y , z ) 0 ， 2 其中E 为系统的总能量。对一维系统，可写为 ∂2 2m Ψ(x) + (E −U)Ψ(x) 0 ， ∂x 2 2 显然只要系统给定，解上述薛定谔方程就可以得到描述粒子运动状态的波函数Ψ。 二、几何量子相位 （一）、绝热近似 1、含时Schrödinger 方程 对于哈密顿量的体系，Schrödinger 方程为 ∂ ˆ i ψ(t) H (t) ψ(t) ， （1） ∂t ˆ 如果H (t ) 不显含时间，则方程（1）的定态解为  i  ψ( ) exp ψ(0) t =− E t  n    ψ(t) 与ψ(0) 只相差一个动力学相因子（−E t / ）。 n 方程（1）的一般解为 80  i  ψ( ) exp ψ t ∑a =− E t n  n  n n   是H 的本征矢；a 与时间无关，仅由初态 决定。 ψn n 0 ˆ 如果H t 显含时间，则 ( )  i t ′ ′ t =− E t dt n t ψ( ) exp  ∫0 n ( )  ( ) 并不是Schrödinger 方程（1）的解。但含时Schrödinger 方程的一般解还是可以表为  i t  t a t E d t ψ( ) ∑ ( )exp =− τ τ ψ ( ) n n  ∫0 n  n a (t) 与时间密切相关，但a (0) 仅由初态 决定。