导数与生活中优化问题及应用.ppt

■灯2刻 第十二节导数与生活中的优化问题及 ■g二个上 综合应用 典创突破·如规律 考向1利用导数解决实际生活中的优化问题 【典例1】(2013·烟台模拟)某商场销售某种商品的经验表明, ■灯2刻 ■g二个上 该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克) 满足关系式y+10(x-6)2,其中3(x(6,a为常数已知销售 价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克 (1)求a的值 (2)若该商品的成本为3元/千克试确定销售价格x的值,使商场 每日销售该商品所获得的利润f(x)最大 【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时,每日可售出该 ■灯2刻 商品11千克”可知销售函数过点(5,11)将其代入可求得a的值 ■g二个上 (2)利润为f(x)=(每件产品的售价每件产品的成本)×销量表 示出函数解析式后可借助导数求最值 【规范解答】(1)因为x=5时y=11所凵+10=11 所以a=2 (2)由(1)可知该商品每日的销售量 ■灯2刻 ■g二个上 y=-+10(×-6) 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)[-410(X-6)2] =2+10(x-3)(X-6)23X6 从而f(x)=10[(x-6)2+2(X-3)(x-6)] =30(X-4)(X-6) 于是当X变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表 ■灯2刻 ■g二个上 由上表可得X=4是函数f(x)在区间(36内的极大值点也是最 大值点 所以当X=4时函数f(×)取得最大值且最大值等于42 当销售价格为4元/千克时商场每日销售该商品所获得的利润 最大 【拓展提升】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 ■(1)分析实际问题中各量之间的关系列出实际问题的数学模型, ■灯2刻 x写出实际问题中变量之间的函数关系式yfx (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0. (3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点的函数值的大小最大 (小者为最大(小值 (4)回归实际问题作答 【变式训练】请你设计一个包装盒如图所示ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直 角三角形再沿虚线折起使得AB,C,D四个点重合于图中的点 ■灯2刻 *正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E,F在AB上,是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AE=FB=x(cm) 2(1)某厂商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大试问x应取何值? ■灯2刻 (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm。)最大试问x应取何值?并求 出此时包装盒的高与底面边长的比值 【解析】设包装盒的高为hcm),底面边长为acm)由已知得a -N Q×X30 (1)5=4ah=8x(30-x)=-8(X-15)2+1800, ■灯2刻 ■x所以当X=15时,S取得最大值 (2V=ahx23+30x),V=620-x) 由V=0得X=0(舍去)或X=20. 当x∈(0,20)时,V0;当X∈(20,30)时,V0. 所以当X=20时,V取得极大值,也是最大值 此时=却包装盒的高与底面边长的比值为 考向2利用导数解决不等式问题 【典例2】(1)(2013·福州模拟)f(x)为定义在R上的可导函 数,且f’(x))f(x),对任意正实数a,则下列式子成立的 ■灯2刻 ■g二个上 是() (A)f(a)ef(0) (B)f(a)ef(0) (C)f(a) f(0 )f(2)1 日(2)(2012·辽宁高考)设f(x)=1nx+7-1证明: ①当x1时,f(x)■(x-1) ②当1x3时,f(x)