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高中数学必修2
第四章 圆与方程知识点
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程:
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点与圆的关系的判断方法:
(1),点在圆外 (2)=,点在圆上
(3),点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线:,圆:,圆的半径为,圆心到直线的距离为,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当时,直线与圆相离;(2)当时,直线与圆相切;
(3)当时,直线与圆相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当时,圆与圆相离;(2)当时,圆与圆外切;
(3)当时,圆与圆相交;
(4)当时,圆与圆内切;(5)当时,圆与圆内含;
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组,、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标
2、有序实数组,对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M,叫做点M的横坐标,叫做点M的纵坐标,叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点到点之间的距离公式
一、知识概述
1、圆的标准方程
圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由于圆的标准方程中含有三个参数a,b,r,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.
2、圆的一般方程
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.
(1)当D2+E2-4F0时,方程表示以为圆心、为半径的圆.此时方程就叫做圆的一般方程.
(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点.
(3)当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形.
即圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).
圆的一般方程也含有三个待定的系数D,E,F,因此必须具备三个独立条件,才能确定一个圆.
3、方程的大致步骤是:
(1)根据题意选择方程的形式:标准方程或一般方程;
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
二、重难点知识归纳:1、理解圆的定义,以及圆的标准方程与一般方程的推导.2、注意圆的一般方程成立的条件.3、利用待定系数法求圆的方程.
例4、已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k-1.
(1)求证:曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;
(2)证明:曲线C过定点;
(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.
判断直线l与圆C位置关系的两种方法:
①判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解,直线l与圆C有公共点.有两组实数解时,直线l与圆相交;有一组实数解时,直线l与圆相切;无实数解时,直线l与圆C相离.
②判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系.如果dr,直线与圆相交;如果d=r,直线l与圆相切;如果dr,直线l与圆C相离.
圆与圆的位置关系
设圆C1的半径为R,圆C2的半径是r,圆心距为d,则
①当dR+r时,两圆相离;②当d=R+r时,两圆外切;
③当|R-r|dR+r时,两圆相交;④当d=|R-r|时,两圆内切;⑤当d|R-r|时,两圆内含.
空间直角坐标系
空间直角坐标系三要素:原点、坐标轴方向、单位长.常用对称点坐标:
点P(x,y,z)关于x轴对称:点P1(x,-y,-z);
点P(x,y,z)关于y轴对称:点P2(-x,y,-z);
点P(x,y,z)关于z轴对称:点P3(-x,-y,z);
点P(x,y,z)关于平面xOy对称:点P4(x,y,-z);
点P(x,y,z)关于平面yOz对称:点P5(-x,y,z);
点P(x,y,z)关于平面xOz对称:点P6(x,-y,
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