第四章三角函数及其图像§4.1角概念的推广.docVIP

PAGE PAGE 114 第四章 三角函数及其图像 　　在初中的数学内容中，你已经学习过角的概念．那时的角，主要是为三角形和多边形等几何图形服务的，因此角的大小都是在0?到360?之间．在初中的数学内容中，你也学习过三角函数sinx,cosx,tanx,cotx等．那时的三角函数是在一个直角三角形内定义的，因此只是考虑锐角的三角函数． 　　在这一章中，我们将要推广角的范围，同时也要把三角函数扩充到更大的角度范围内，去说明它们的意义，并研究它们的图象及一些初步性质． §4.1角概念的推广 预备知识 ?角的概念和角度制度量 ?集合的概念和集合的表示法 重点 ?识别并理解各种不同的角 难点 ?写出符合条件的角的集合 学习要求 ?了解角的概念推广的必要性和它的实际意义 ?能正确表示各种不同的角 ?能写出符合条件的角的集合 　　过去我们所遇到的角，都是正的，且在0?到360?范围内．实际中，由于角的终边旋转方向、旋转圈数超过一圈等，把角限制在0?到360?范围内是不够的，必须予以扩充．本节要学习的，就是如何推广角的概念，并认识各种不同的角 　　1. 角的概念的推广 BA?终边始边O B A ? 终边 始边 O 图4-1 ? C 终边 到达终止位置的射线称为终边，而所绕的端 点则称为角的顶点． 过去，你所接触的角一般总是与三角形 或多边形联系在一起，习惯于把角限制在0?? +360?，因此对射线的旋转方向和旋转多少等， 不太注意．现在我们要对射线旋转方向、旋转多少等作进一步研究，打破这个习惯框框． (1)正角和负角 首先从旋转方向来看．设图4-1中，从OA出发，向两个相反方向旋转相同的角度，例如135?，分别到达OB和OC，怎么区分这两个不同的角呢？我们规定，按逆时针方向旋转而成的角为正角，按顺时针方向旋转而成的角为负角，而射线没有旋转时的角为零角．这样?AOB=135?，?AOC=-135?，这两个角就被区分开来了． 你可能会说，我怎么知道角的正负呢？例如一个三角形的内角到底算是正角还是负角？你不必多虑，在具体问题中，如果与旋转方向有关，那么角是要区分正负的，否则角总认为是正的．例如三角形的内角,与旋转方向无关，因此总是正的． O 图 O 图 4-2 ? ? ? ? A B C D P 我们已经知道，一个周角是360?． 以角的顶点为圆心画一个圆，当射线OP绕 着端点O旋转时 ①终边逆时针旋转不超过一周、在0??360? 范围内的角的大小，可以根据圆心角的大小来确 O?A 图4-3?定，如图4-2，?POA, ?POB, ?P O ? A 图4-3 ? 分别对应于圆心角 ?, ?, ?, ?； ②终边逆时针旋转超过一周的角，则只要在 0??360?范围内的角加若干个周角，就是它的大小， 如图4-3，设?=45?，则 ?=?+2?360?=45?+720?=765?； O?A 图4-4? ③终边顺时针旋转不超过一周、在 O ? A 图4-4 ? ④终边顺时针旋转超过一周的角，则只要在-360??0? 范围内的角，减若干个周角，就是它的大小，如图4-4， 设?=-45?，则 ?=?-2?360?=-45?-720?=-765?． O?A O ? A 图4-5 ? 从终边位置来看，任何一个角?的终边，总 能与一个0??360? 范围内的一个正角? 的终边重 合(见图4-5), 而原来的角?不过是在? 的基础上, 可能再在逆时针或顺时针方向上，多绕若干个圈 而已．因此任何角? 总能表示为 ?=k?360?+?, k?Z, 0???360?． 任给一个角?，只要能找到k和? ，使(4-1-1)成立，那么角? 的终边与角?的终边就是重合的．这是你用来确定一个角的终边位置的常用方法．具体可分两步操作： 第一步 求出k．若?0，k=的整数部分；若?0，则k=的整数部分-1； 第二步 求出? =? -k?360?, (0??360?)． 例1　试在图上画出下列大小的角?的终边： (1)1125?； (2)-405?； (3)-990?． OB图4-6(1)A?? 解　(1)因为?0， O B 图4-6(1) A ? ? 余数 ?=1125?-3?360?=45?， 所以 1125?=3?360?+45?(图象见图4-6(1)) ▌ OB图4-6(2)A?? (2)因为?0，k= O B 图4-6(2) A ? ? ?=-405?-(-2)?360?=315?， 所以 -405?＝315?-2?360? (图象见图4-