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图形变换之轴对称
下面给出几种常考虑要用或作轴对称的基本图形
线段或角度存在2倍关系时,可考虑对称;
有互余、互补关系的图形,可考虑对称;
角度和或差存在特殊角度的,可考虑对称;
路径最短问题,基本上运用轴对称,将分散的线段集中到两点之间
例题精讲
例1 如图,在△ABC中,∠B=22.5°,边AB的垂直平分线交BC于D,DF⊥AC于F,并与BC边上的高AE交于G.求证:EG=EC.
例2 (1)如图a,把矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的B′处,点A落在A′处.若AE=a、AB=b、BF=c,请写出a、b、c之间的一个等量关系.
(2)如图b,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB=( )
(3)如图c,等边△ABC的边长为1,D,E分别以AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处,且点A′在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为 .
(4)如图d,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点,则A′N= ;若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点(n≥2,且n为整数),则A′N= (用含有n的式子表示).
a b c d
例3如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,求线段CN长.
例4在四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,∠ABD+∠BDC=90°,求四边形ABCD的面积。
例5 如图,在四边形ABCD中,连接AC,BC=CD,
∠BCAˉ∠ACD=60°,求证:AD+CD≥AB。
例6问题:已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1)当∠BAC=90°时,依问题中的条件补全右图;
观察图形,AB与AC的数量关系为 ;当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠DBC的度数为 ;可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ;
(2)当∠BAC<90°时,请你画出图形,研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
例7问题背景:
如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,则点C即为所求.
(1)实践运用:
如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A在⊙O上,∠ACD=30°,B为弧AD的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为 .
(2)知识拓展:
如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.
例8请阅读下列材料:
问题:如图,在四边形ABCD中,M是BC边上的中点,且∠AMD=90°,试判断AB+CD与AD之间的大小关系。
小雪同学的思路是:作B点关于AM的对称点E,连接AE、ME、DE,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决。
请你参考小雪同学的思路,探究并解决下列问题:
写出上面问题中AB+CD与AD之间的大小关系;
如图b,若将∠AMD的度数改为120°,原问题中的其他条件不变,证明:;
如图c,若∠AMD=135°,AB=1,BC=,CD=2,求AD的最大值。
牛刀小试
1、下列图形中对称轴最多的是( )
圆 B、正方形 C、等腰三角形 D、线段
2、如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=EC.若将长方形沿AE折叠,点B恰好与AC上的点B1重合,则AE= .
3、如图,矩形纸片ABCD的边AD=9cm,AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为( )
A、4cm,cm B、5cm,3cm C、6cm,cm D、5cm,4cm
4、如图,在△ABC中,AB=2BC,∠B=2∠A,求∠C。
5、如图,△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E,EF⊥AB于F,EG⊥AG交AC的延长线于G.求证:BF=CG.
6、已知:如图,在∠P
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