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同济大学土木工程学院研究生课程 《有限单元法》 第四章 等参元和数值积分 授课教师：吴明儿教授 2015年春 4.1 引言 为了将建立于局部的自然坐标内的单元及插值函数用 于实际工程问题和物理问题的分析，需要将规则形状 的单元转化为其边界为曲线或曲面的相应的单元。 在有限元法中最普遍采用的变换方法是等参变换，即 单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结 点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的 单元称为等参元。 单元特性矩阵计算：数值积分方法 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换 1、4节点及8节点等参单元 对于一般形状的4 节点四边 形单元，按逆时针方向标记 节点编号1、2 、3 、4 ，单元 形状用下式表示( 双一次拉 格朗日多项式) ： 1 2 = 1 2 3 4 3 1 1 1 1 4 = , = , = , = 1 4 2 4 3 4 4 4 1 2 = 1 − , = 1 −, = 1 + , = 1 + = 1 2 3 4 3 4 及为局部坐标，各节点的局部 4 4 坐标为 = , = 1(-1,-1), 2(1,-1), 3(1,1), 4(-1,1) 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换 1、4节点及8节点等参单元 对于一般形状的8节点四边 形单元，按逆时针方向标记 节点编号1、2 、…、8 ，单 元形状用下式表示： 8 8 = , = 其中 参见8节点Serendipity四边形单元的插值函数。 及为局部坐标，各节点的局部坐标为 1(-1,-1), 2(1,-1), 3(1,1), 4(-1,1), 5(0,1), 6(-1,0), 7(0,-1), 8(1,0) 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换 1、4节点及8节点等参单元 单元内位移由节点位移 以及 以及插值函数表示： 8 8 = , =