第五讲考研高等代数选讲之线性空间.ppt

第五讲 线性空间 解： 四、求过渡矩阵及坐标 1、过渡矩阵的概念 设V是数域P上的 维线性空间， 和 是V的两组基，它们之间的关系式 称为基变换公式。基变换公式可形式地写为 其中 称为由基 到 的过渡矩阵。 2、过渡矩阵的有关结论 （1）过渡矩阵都是可逆的； 3、坐标变换公式 （2）如果由基 到 的过渡矩阵为 ，则由基 到 的过渡矩阵为 设V是数域P上的 维线性空间， 是由V的基 到基 的过渡矩阵，则V中元素 在基 下的坐标 和在基 下的坐标 满足关系式 或 * * 线性空间是 维向量空间的推广。线性空间是在 不考虑集合的对象，抽去它们的具体内容来研究规定 了加法和数乘的集合的公共性质，因此，线性空间具 有高度的抽象性和应用的广泛性学习时要深入理解各 个基本概念及其相互之间的联系，养成从定义出发进 行严格推理的习惯。 知识脉络图解 集合与映射 线性子空间 基本性质 基与维数 元素的坐标 线性空间的定义 生成子空间 基变换与坐标变换 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间分解为子空间的直和 同构映射 线性空间的同构 向量空间 重点、难点解读 线性空间是我们第一次用公理化的方法来定义的数学结构，即将一个具有加法与数乘运算且这些运算封闭，并满足八条算律的集合定义为线性空间。应该说这是在数学思想方法上是一次新的飞跃。有了这一概念，我们就可以用统一的方法来处理许多数学对象。 本章的重点之一是线性空间的基与维数。因为在 确定了有限维线性空间的基之后，一方面明晰了线性 空间的结构（由基生成整个线性空间），另一方面将 线性空间中抽象的元素及规定的运算与 中具体的向 量及向量的运算相对应，因此可归结为对 中向量的 讨论，即它们具有相同的代数结构。 本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。能 够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和，则这个 线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究 。应掌握直和的概念和等价条件。 一、线性空间的判定 1、线性空间的定义 对于线性空间的定义，我们应注意以下几点： ① 线性空间具有一般性，其中的元素不一定是通常意义下的向量，可以是数、矩阵、多项式、函数等。 ② 线性空间具有抽象性，这主要体现在两个运算上，其中加法与数乘未必就是我们所熟悉的数、矩阵、多项式、函数的加法与数乘运算，之所以这样称呼，是因为所定义的这两种运算满足通常的加法与数乘运算所具有的运算规律。在同一非空集合及同一数域上按不同规则来定义这两种运算，所构成的线性空间是不同的。 ③ 线性空间定义中，当取不同的数域时，线性空间的定义形式不改变，但线性空间中的一些性质，如线性相关性、维数等，一般要改变。 要验证一个非空集合是线性空间，除了需要验证其元素对所规定的加法与数乘运算封闭外，还需逐一验证这两种运算应满足的八条算律；而要否定一个非空集合是线性空间，只要说明两个封闭性及八条算律中有一条不成立即可。 2、线性空间的简单性质 （1）零元素 是唯一的； （2）任意元素 的负元素 是唯一的； （3） （4）如果 ，则 或 (5)运算律都成立，交换律，结合律，分配律，消去律。 （1）V 是实数域上的线性空间；并指出什么函数是零元素； 的负元素是什么函数； （2）证明：V 不是有限维线性空间。 证 首先可证V关于加法与数乘封闭。 显然， 和 仍为定义在闭区间 上的实函数， 所以， 再验证加法应满足的4条算律： 有 例1、设V 是定义在闭区间 上所有实函数的集合，在V 上定义的加法为：对 为函数 定义实数 乘函数 为 这4条中，只证