52直接三角分解法.ppt

31 定理 1. (Cholesky 分解 ) 使得 正数的下三角阵 元全是 则一定存在一个主对角 为对称正定矩阵 设 , , L A T LL A ? 且该分解式唯一 这种关于对称正定矩阵的分解称为 Cholesky 分解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn nr n rr r l l l l l l L ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn nr n rn rr r n r a a a a a a a a a A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 11 设 ji ij a a ? 32 ir a r A r L 列元素 的第 考察 列已求出 的第 假设 , 1 ~ 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn nr n rr r l l l l l l ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn nr n rn rr r n r a a a a a a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn nr rr n r l l l l l l ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 11 11 11 11 l l a ? ? 11 21 21 l l a ? ? 11 1 1 l l a i i ? ? n i , , 2 , 1 ? ? 可以求出 的第一列元素 1 i l L ? ? ? ? r k rk rk rr l l a 1 2 1 1 2 rr r k rk l l ? ? ? ? ? ? ? ? ? r k rk ik ir l l a 1 rr ir r k rk ik l l l l ? ? ? ? ? ? ? 1 1 n r r i , , 1 , ? ? ? -------------(6) -------------(7) -------------(8) 33 的元素的计算公式 式可得 由 L ) 8 ( ~ ) 6 ( 11 11 a l ? 11 1 1 l a l i i ? n i , , 3 , 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 r k rk rr rr l a l n r , , 2 ? ? rr r k rk ik ir ir l l l a l ? ? ? ? ? ? 1 1 n r i , , 1 ? ? ? ) 9 ( ij ij ij l a l 放 的储存地址可以用来存 求出后 当 在计算机上运算时 从公式中可以看出 , , , 34 二、对称正定线性方程组的解法 b Ax ? 线性方程组 阶对称正定矩阵 为 其中 n A 使得 的下三角阵 则存在主对角元为正数 , L T LL A ? -------------(10) -------------(11) 则线性方程组 (10) 可化为两个三角形方程组 b Ly ? y x L T ? b x L L T ? ) ( -------------(12) -------------(13) 35 b Ly ? 解 . 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn ni n ii i l l l l l l L ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 11 11 1 1 l b y ? ii i k k ik i i l y l b y ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? ? ? n i , , 3 , 2 ? ? ------(14) y x L T ? 解 . 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn ni ii n i T l l l l l l L ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 11 nn n n l y x ? ii n i k k ki i i l x l y x ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ------(15) 对称正定方程 组的 平方根法 1 , 2 , , 1 ? ? ? n i 36 三、平方根法的数值稳定性 用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元 T LL A ? 由 可知 ? ? ? ? r k rk rk rr l l a 1 ? ? ? r k rk l 1 2 因此 rr rk a l ? 2 | | 不会放大 得以控制 中间量 , rk l n r , , 2 , 1 ? ? r k , , 2 , 1 ? ? 平方根法是数值稳定的 事实上