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平行线的性质(基础)知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行线的性质公理、定理,并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解;
2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程;
3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.
【要点梳理】
要点一、平行线的公理、定理
公理:两条平行线被第三条直线所截,得到的同位角相等.(简记为:两直线平行,同位角相等).
定理:两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:两直线平行,内错角相等).
定理:两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:两直线平行,同旁内角互补).
要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提 “两直线平行”.
(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:两直线平行,内错角
相等).
因为a∥b,
所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:两直线平行,同旁
内角互补).
因为a∥b,
所以∠3=∠2(两直线平行,内错角相等),
又∠3+∠1=180°(补角的定义),
所以∠2+∠1=180°.
要点诠释:平行线性质定理的证明,要借助平行线线性质公理,因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论,不需要证明,但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
要点三、平行线的性质与判定
(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系. (2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆. (3)平行线的判定与性质的联系与区别 区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行. 联系:性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关. (4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角.
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1.如图所示,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°.那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么.
【思路点拨】本题已知条件中,包含了两个层次:第一层次是由DE∥BC,可得∠1=∠4,∠1+∠2=180°;第二层次是由DF∥AB,可得∠3=∠2或∠3+∠4=180°,从而解出∠2、
∠3、∠4的度数.
【答案与解析】
解:∵ DE∥BC,
∴ ∠4=∠1=65°(两直线平行,内错角相等).
∠2+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴ ∠2=180°-∠1=180°-65°=115°.
又∵ DF∥AB(已知),
∴ ∠3=∠2(两直线平行,同位角相等).
∴ ∠3=115°(等量代换).
【总结升华】平行线的性质:由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系.
举一反三:
【变式】(2015?永州)如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 度.
【答案】解:∵∠1=∠2,∴AB∥CD,
∴∠A+∠ADC=180°,
∵∠A=60°,
∴∠ADC=120°.故答案为:120°
2. 如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105度,第二次拐的角∠B是135度,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?
【思路点拨】过点B作直线BE∥CD,用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答.
【答案与解析】
解:过点B作直线BE∥CD.
∵CD∥AF,∴BE∥CD∥AF.∴∠A=∠ABE=105°.∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.又∵BF∥CD,∴∠CBE+∠C=180°.∴∠C=150°.
【总结升华】此题是一道生活实际问题,根据题目信息,转化为关于平行线性质的数学问题.
3. 已知,如图,AB∥CD,BE∥FD.求证:∠B+∠D=180°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1,∠1+∠D=180°,等量代换即可证明∠B+∠D=180°.
【答案与解析】
证明:∵AB∥CD(已知),∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等).∵BE∥FD(已知),∴∠1+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠B+∠D=180°(等量代换).
【总结升华】此题主要考查平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补;
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