等差数列的前n项和 15分钟微型课讲课稿.doc

等差数列的前n项和讲课稿 各位评委老师，下午好！今天我讲的课题是等差数列的前n项和，本节课出自人教A版数学必修5第二章第三节。同学们，在学习新课之前，我们先来回顾一下上节课所学习的主要内容。 在上节课，我们主要学习了等差数列的概念以及等差数列的通项公式，等差数列的概念是如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。等差数列的通项公式是。这些是我们上节课所学习的主要内容，接下来我们来学习新课，等差数列的前n项和。 同学们先来看问题1，计算从1到100的自然数之和。请同学们想一想，这道题你会怎么做？问题1相信大家都会求，可以一项一项的相加。其实，在200多年前，德国数学家高斯的算术老师也提出了这个问题，据说，当其他同学忙于将这100个数逐项相加时，10岁的高斯很快就算出了这道题的正确结果。同学们想知道高斯是怎么算的吗？他将这式子的第一项与倒数第一项结合，第二项与倒数第二项结合，……，第五十项与倒数第五十项结合。这一共分成了50组，高斯之所以能够快速的算出正确答案，是因为他发现每一组的和都是101，所以它的结果就等于50乘以101等于5050. 问题1大家都很熟悉，接下来看问题2，计算从1到n的自然数之和。这个问题又该怎样做呢？请同学们思考一下。（停顿20秒）应该怎么做呢？哦，像高斯那样分组，将第一项与倒数第一项结合，第二项与倒数第二项结合，……，最后一组应该怎样写？这个式子中的n我们不知道，我们也想像高斯那样分组求和。受到高斯算法的启发，我们可以将这个式子再写一遍，让这n个数倒着来排列。将上边这个式子与下边这个式子所对应的项分别相加，这也是将第一项与倒数第一项结合，第二项与倒数第二项结合，一直到第n项与倒数第n项结合。这每一组的结果都是（n+1）, 这一共有n个(n+1)。由于这是两个从1到n的和，所以，1+2+3+……+n=n (n+1)/2。在数学上，我们将先倒序然后相加的方法称之为倒序相加法。 我们再来回顾一下这两个问题，其实它们就是等差数列的求和问题。它们只不过是首项和公差都为1的等差数列，一个是求其前100项之和，一个是求其前n项和。我们将1+2+3+…+n这样的形式称为这个等差数列的前n项和。下面来学习等差数列前n项和的概念。 一般地，如果数列是以为首项，为公差的等差数列.设为等差数列的前n项和，用来表示，即。那么，如何求等差数列的前n项和呢？接下来，让我们共同探究等差数列的前n项和。 等差数列{an}的前n项和（将其记为①式）。对于这个问题，我们可以像问题2一样，采用倒序相加法来解决。再写一个，让的右端倒着来排列：（将其记为②式）。 等差数列的每一项都可以用和来表示.我们将通项公式代入①式中， ③ 我们把①式改写成了③式，我们再来看一下②式，它应该怎样变形呢？根据等差数列的定义，，，…….我们可以用等差数列的末项和公差来表示 ④ 根据我们刚才所讲的倒序相加法，倒序的工作我们已经做过了，接下来就要将进行相加。将③式和④式的左右两边分别相加得， 由此得到等差数列{an}的前n项和 （Ⅰ） 这意味着只要知道等差数列的首项、末项和项数，就可以求出该等差数列的前n项和。（记法）。我们将（Ⅰ）式叫做等差数列的前n项和公式。 例题是已知首项，项数和公差，让同学们求其前10项的和.根据等差数列的前n项和公式（Ⅰ），除了知道首项和项数，还需要知道末项。怎么求呢？根据等差数列的通项公式，我们可以求出末项，再代入公式（Ⅰ）即可。我们通过求，从而求出这个数列的前10项和。如果我们不求，能否求出？我们回过头来再看等差数列的前n项和公式（Ⅰ）。这个公式中含有，根据等差数列的通项公式可知，可以用，和来表示。将等差数列{an}的通项公式代入（Ⅰ）得（Ⅱ）。问题3的结果有两种形式，一个是已知首项，末项和项数，可以求出等差数列的前n项和.另一个是已知首项，项数和公差，可以求出等差数列的前n项和. 还是这个例题，我们可以将已知条件直接代入公式（Ⅱ）中，同样能算出。 接近下课的时间了，我们来回顾一下本节课所学习的主要内容。本节课，我们利用倒序相加法推导出了等差数列的前n项和公式。等差数列的前n项和公式一个是，另一个是。 最后看一下今天的作业，作业是课本46页A组第2、3、4题.今天的课外活动是：请同学们查阅资料，了解中国古代数学家在等差数列的求和问题中有哪些成就？今天的课就上到这里，下课。