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几何难题精选
解答题(共?30?小题)
1.(2015?河南)如图?1,在?eq?\o\ac(△,Rt)?ABC?中,∠B=90°,BC=2AB=8,点?D、E?分别是边?BC、
AC?的中点,连接?eq?\o\ac(△,DE),将?EDC?绕点?C?按顺时针方向旋转,记旋转角为α?.
(1)问题发现
①当α?=0°时,
(2)拓展探究
=?????;②当α?=180°时,??=?????.
试判断:当?0°≤α?<360°时,
的大小有无变化?请仅就图?2?的情形给出证明.
(3)问题解决
当△EDC?旋转至?A,D,E?三点共线时,直接写出线段?BD?的长.
2.(2015?济南)如图?eq?\o\ac(△,1),在?ABC?中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点?M?为射线
AE?上任意一点(不与?A?重合),连接?CM,将线段?CM?绕点?C?按顺时针方向旋转?90°得到
线段?CN,直线?NB?分别交直线?CM、射线?AE?于点?F、D.
(1)直接写出∠NDE?的度数;
(2)如图?2、图?3,当∠EAC?为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变
化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;
(3)如图?4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直线?CM?与?AB?交于?G,BD=
条件不变,求线段?AM?的长.
,其他
3.(2015?岳阳)已知直线?m∥n,点?C?是直线?m?上一点,点?D?是直线?n?上一点,CD?与
直线?m、n?不垂直,点?P?为线段?CD?的中点.
l(1)操作发现:直线?l⊥m,⊥n,垂足分别为?A、B,当点?A?与点?C?重合时(如图①所示),
l
连接?PB,请直接写出线段?PA?与?PB?的数量关系: .
(2)猜想证明:在图①的情况下,把直线?l?向上平移到如图②的位置,试问(1)中的?PA
与?PB?的关系式是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)延伸探究:在图②的情况下,把直线l?绕点?A?旋转,使得∠APB=90°(如图③所示),
若两平行线?m、n?之间的距离为?2k.求证:PA?PB=k?AB.
4.(2015?重庆)在△ABC?中,AB=AC,∠A=60°,点?D?是线段?BC?的中点,∠EDF=120°,
DE?与线段?AB?相交于点?E.DF?与线段?AC(或?AC?的延长线)相交于点?F.
(1)如图?1,若?DF⊥AC,垂足为?F,AB=4,求?BE?的长;
(2)如图?2,将(1)中的∠EDF?绕点?D?顺时针旋转一定的角度,DF?仍与线段?AC?相交于
点?F.求证:BE+CF=?AB;
(3)如图?3,将(2)中的∠EDF?继续绕点?D?顺时针旋转一定的角度,使?DF?与线段?AC?的
延长线相交于点?F,作?DN⊥AC?于点?N,若?DN⊥AC?于点?N,若?DN=FN,求证:BE+CF=
(BE﹣CF).
5.(2015?烟台)【问题提出】
如图①,已知△ABC?是等腰三角形,点?E?在线段?AB?上,点?D?在直线?BC?上,且?ED=EC,
将△BCE?绕点?C?顺时针旋转?eq?\o\ac(△,60)°至?ACF?连接?EF
试证明:AB=DB+AF
【类比探究】
(1)如图②,如果点?E?在线段?AB?的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,AF?之间又
有怎样的数量关系?请说明理由
(2)如果点?E?在线段?BA?的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整,
并写出?AB,DB,AF?之间的数量关系,不必说明理由.
6.(2015?莆田)在?eq?\o\ac(△,Rt)?ACB?和?eq?\o\ac(△,Rt)?AEF?中,∠ACB=∠AEF=90°,若点?P?是?BF?的中点,
连接?PC,PE.
特殊发现:
如图?1,若点?E,F?分别落在边?AB,AC?上,则结论:PC=PE?成立(不要求证明).
问题探究:
把图?1?中的△AEF?绕着点?A?顺时针旋转.
(1)如图?2,若点?E?落在边?CA?的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;
若不成立,请说明理由;
(2)如图?3,若点?F?落在边?AB?上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若
不成立,请说明理由;
(3)记
由)
=k,当?k?为何值时,△CPE?总是等边三角形?(请直接写出?k?的值,不必说明理
7.(2015?襄城区模拟)如图,正方形?ABCO?的边?OA、OC?在坐标轴上,点?B?坐标为(3,
3).将正方形?ABCO?绕点?A?顺时针旋转角度α?(0°<α?<90°),得到正方形?ADEF,ED
交线段?OC?于点?G,ED?的延长线交线
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