必威体育精装版定积分中的几何直观方法与不等式的证明名师精编资料汇编.pdf

定积分中的几何直观方法与不等式的证明 摘要：一些高指数的不等式， 如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式 再进行放缩的话， 一般都要分 0 p 1与 p 1进行讨论证明， 往往证明起来很麻 烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话， 会大大简化其证明工序， 也很 简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。 关键词 ：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列 1 引言 文[1] 中给出了一个不等式： n 1 n 1 2( n 1 1) 2 n 1 （ ） （1） i 1 i 田寅生对（ 1）进行了指数推广，其结果是 命题 1【2 】 设 p R 且 p 0 ， p 1 ， n 1 ，则有 n 1 1 p 1 1 1 p 1 [( n 1) 1] p n 1 （2 ） 1 p k 1 k 1 p 1 p 文[2] 的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分 0 p 1与 p 1进行 讨论证明，读者不难看出， 不仅过程繁琐， 而且对其证明思路难以把握。 文 [3] 中 利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[ 4] 借助定积分的方法， 给出了一 种很自然的证明 【4】 ： 命题 1的证明 【4 】 当 p 0 ， k 1 时，对于 k x k 1 ，有 k p xp (k 1)p ， 即 1 1 1 ， p p p (k 1) x k 两边取积分，得 k 1 1 k 1 1 k 1 1 d x d x ，d x （3 ） k p k p k p ( k 1 ) x k 即得 1 1 1 p 1 p 1 p [( k 1) k ] p （4 ） ( k 1) 1 p k 对（ 3 ）两边分别求和，即得 1 1 p n 1