高等代数下半册复习.ppt

高等代数下半册复习 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 线性变换的特征值与特征向量： A 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 会用Schimidt正交化算法 (标正基II)=(标正基I)*正交矩阵 由标正基到标正基的过渡矩阵是正交矩阵 由标正基I及正交矩阵的过渡矩阵可得基II为标正基 正交矩阵的行列式等于1（第一类的）或-1（第二类的） 正交矩阵： 判断欧空V到欧空V’的同构？ 在标正基下，每个n维欧空都与 同构 两个有限维欧空，同构?同维 正交变换：线变基础上保持内积不变 (A , A )= 以下四命题等价： 正交变换 保持长度不变 标正基的像仍是标正基 在任一组标正基下的矩阵是正交矩阵 正交变换是一个欧空到其自身的同构映射 两个子空间的正交 向量与子空间的正交 子空间两两正交，则其和为直和 子空间V1的正交补V2： V1+V2=V V1⊥V2 子空间V1的正交补是唯一的 * * * 一、二次型及其矩阵表示 二、化二次型为标准型 三、正定二次型的判定 第五章 二次型 二次型 对称矩阵 标准形 对角矩阵 合 同 变 换 线 性 替 换 非 退 化 复 二 次 型 的 规 范 形 实 二 次 型 的 规 范 形 正惯性指数 ＝变元个数 n 单位矩阵 正定二次型 正定矩阵 顺序主子式 全大于零 合 同 定理1 定理2 定 理 6 定理3 定理4 定理5 负定、半正定、半负定、不定二次型 定理7 C′AC=B X=CY * 1、求二次型的标准形；实、复二次型的规范形. 2、实二次型的正定性的判断； 实二次型其它类型的判断. 3、利用标准形和正定性等性质来证明有关问题. 方法：1）配方法; 2）合同变换法. 方法：1）用正定二次型的定义； 2）用非退化线性替换（或合同变换）化二次型为标准 形，从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性; 　　　3）计算矩阵的各级顺序主子式，若全大于零，则正定. 基本题型 * 判断集合X到Y的一个映射？ X中每个元素都有惟一的像； X中任何元素都有确定的像； 每个元素的像都属于Y. 什么叫满射？ 既单又满的映射 什么叫单射？ 什么叫双射？ X中不同元素的像也一定不同 如何判断非空集合V为数域P上的线性空间？ V上定义的加法与数量乘法运算封闭； 满足如下八条运算规则： 加法四条： 数乘两条： 混合两条： 什么叫线性空间V的维数、基与坐标？ n维：有n个线性无关向量，没有更多无关向量 基：这n个线性无关的向量 坐标：任何向量在基下的线表系数 基变换 A为由基I到基II的过渡矩阵，可逆； A中各列表示基II中各向量在基I中的坐标 基II 基I 坐标变换 X=AX’，其中X’为向量在基II下坐标，而 X为该向量在基I坐标 如何判断线性空间V的非空子集为子空间？ 对加法和数量乘法运算封闭 ：由 生成的子空间 生成子空间的基与维数 子空间的交与和 都为子空间 如何求两个子空间的交与和？（见课后习题） 如何求交与和子空间的基与维数？ （见课后习题） 维数公式： 判别方法：分解惟一 零向量分解惟一 交为零子空间（即交只有零向量） dim(W)=dim(V1)+dim(V2) 子空间的直和： 线性空间V