高等流体力学笔记第3讲.docVIP

§2.4流体微团运动的分析 流体微团：由大量流体质点组成的形状可任意选取,尺寸足够小的流体微元。 流体微团的线变形速率、角变形速率与旋转角速度 流体微团运动的速度分解： 根据高等数学可知，若已知一点的流速，则其它相邻点的流速均可用其一阶泰勒级数展开表示。为了简明起见，我们选择一个正方形流体微团的一个面进行分析，并通过分析引出几个中用的的积分概念与定义，并将其扩展到三维情况。 如图所示，二维流体微团abcd，设a点的流速为u,v，则根据泰勒级数展开表达式，流体微团其它任何点上的速度均可表示为： x方向： y方向： （∵b点：dy=0，c点：dx=0，d点：dx,dy≠0） 所以在a,b,c,d各点上，流速分布分别为： a点：x方向u y方向v b点：x方向 y方向 c点：x方向 y方向 d点：x方向 y方向 经过dt时间流体微团将会移动到新的位置，而且因为速度分量的不同，会发生平动、转动和变形的复合运动，一般将会成为一个对角线发生了偏转的菱形流体微团。 根据速度可分解的性质，上图所示速度分布可分解成下面三种情况： 单纯的平行移动：如图所示，因为各点具有相同的速度分量，故dt时间后，流速仅发生单纯的平行移动。 单纯的线变形：如图所示，因a点速度为0，dt时段后不变，而b，d点均有相同的x方向分量，故dt时段后在x方向拉伸（或压缩），在c,d点均有相同的y方向速度分量故dt时段后在y方向拉伸了。因流体微团的各个方向的没有变，故这是一种单纯的线变形运动。 因为流体流动是连续的，因此一个方向拉伸，另一个方向必然缩短。故dt后流体微团 在新的位置为为拉长后的矩形微团。 流体微团线变形速率的定义（或相对直线变形速度）：流体微团上单位时间，单位长度上的线变形称之为流体微团的线变形率。简称先变形率，并用带双下标的ε表示： x方向： y方向： z方向： 对于不可压缩流体，一个方向拉伸，另外方向就一定会压缩，因此三个方向的线变形率之和一定为零，即： 如果用场量的表示方法即速度的散度为零，从上面我们可以看出，速度的散度所表达的物理意义应是流体微团的体积膨胀。对于不可压缩流体体积膨胀率应为0。 单纯的角变形： 如图所示的流速分布，若在假定和大小相等，均为正值（或均为负值），则dt时段后，流体微团ab边和ac边就会在相反的方向。（逆时或顺时）转过同样的角度，d点也会沿对角线方向作相应的移动。 ab边的转角α1应近似为： ac边的转角α2应近似为： 且：。因此dt时刻后就会产生一个a点位置不变，对角线方法不变单纯的角变形运动。如图所示。 单纯的转动： 如图所示的速度分布，再假定和大小相等，但正负相反（一正一负），则dt时刻后，ab边及ac点就会产生同一方向（同为逆时或同为顺时）转角相同的转动，d点也会作相应的移动，此时dt时刻正方形的流体微团仍然保持其形状不变，只是整个上发生了单纯的转动。如图所示。 如果规定转角逆时针为正，则有 （图示的） 一般情况下，和大小不一定相等，方向也不一定相等。如上面的规定，因此一般情况下，，实际的流动不是图（4）与图（5）所示的单纯的角变形或单纯的转动，而是如图（3）所示的对角线方位有变化的菱形，是角变形与转动的复合。为了描述流体微团的角变形的大小和旋转角的大小，特别引出如下概念与定义。 流体微团的平均角变形： 流体微团的平均转动角： 角变形速率的定义：单位时间流体微团的平均角变形。用带双下标的ε表示。 在xoy平面上，根据上面的分析可知： 同理在xoz和zoy平面上其定义应为： 双下标表示角变形所在的平面。 流体微团的旋转角速度的定义：单位时间流体微团的平均转动角。用单下标ω表示。 根据上面分析，在xoy平面上有： ，下标z表示流体微团转动轴的方向。 同理，在其它平面上有： 上面三个正交平面的旋转角速度可以写成向量的形式： 上失即为流体微团旋转角速度矢量，其为（x,y,z,t）的函数。可以将上面关系用场量的表达方法表示成： 为速度的旋度，也正好是涡矢量的定义。 线变形率、角变形率的张量表示：，， 另外线变形率，，与角变形率，，，，，均为流体的变形率，因此可以将其构建成一个用三个矢量