高等数学——定积分不等式的证明.pdfVIP

定积分不等式 整理人：白朗 I.预备知识 我们经常会遇到积分形式的不等式，这里称之为积分不等式。一般来说，常常借助于积分方法来证之， 包括分部积分，利用积分的性质及第一、第二积分中值定理.主要依据是以下几个定理与结论： 定理1.设 ，且 ，则 . 定理2.设 ，则 . 定理3.设 ，且 ，则存在 ，使得 . 定理4.设 为单调函数，则存在 ，使得 . 命题 1.设 在 上单调减少，数列 非负严格单调减少，则 . 命题2.设 ，则 . 命题3.设 ，若 与 同序，即对 ，有 ，则 . 这里给出命题3 的证明：令 ，则由积分的性质可得 ， ， 由 与 同序知， . 两边积分，整理得 . 同理可知，当 反序时，不等号方向改变. 在证明过程中可能会使用 不等式、微(积)分中值定理、重积分法、常数变易法，间或利用凹凸 性(笔者于本文中提及的凸函数均指下凸，简单来说，指满足 的函数). 诚然，积分不等式题型丰富，内容广博，绝非笔者所能穷举.接下来我们将通过例题及解答的方式一同 探讨，或许会有优美的解法，或许在解题能力上会对大家有所裨益. II.典型例题 1.设 ，求证： . 证：注意到 . 于是， .两边取定积分，可得 . 2.设 ，且 ，求证： . 证1： ，有 . 由 ，有 .两边积分即得所要的不等式. 证2： . 3.设 ，且 ，求证： . 证：注意到 .两边积分即得证. 4.设 在 上递增，且 .求证： . 证1： ( 在 与 间). 因