高等代数1.5数环与数域教案OK.docVIP

§1.5 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。 例如 在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。等等。 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中（即运算是否封闭）。 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。 运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。 一、数环 定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对总有则称S是一个数环。例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环。 问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。 当a=0时，即只包含一个零组成的数 环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的数环？ 例2：证明是一个数环。 问题： 5、除了定义之外，判断一个集合是数环有没有其他简单的方法？ 定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 二、数域 定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，如果F中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，则称F是一个数域。 定义：设F是一个数环，如果① F内含有一个非零数； ② 对且则则称F是一个数域。 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，且是三个最重要的数域。 问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数集是不是数域？ 7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？ 例3：证明是一个数域。 证明要点：先证有一个非零元对加、减、乘封闭。再证除法封闭： （否则当矛盾；当，也矛盾）。于是 问题：8、一个数域必包含哪两个元素？9、最小的数域是什么？ 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则于是对 故 问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上要检验几种运算？ 定理1.1.3：设F是一个含有非零数的数集，则F一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除数不为零）仍属于F。 问题：11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C之间是否有别的数域？ 例：对任意素数P， 是一个数域。 在R与C之间不可能有别的数域。设有数域F，使故 设x=a+bi，且（若b=0，则，矛盾）。 可见F=C。