高等流体力学笔记第7讲.docVIP

第七讲 第三章 流体动力学的基本方程组 流体动力学的基本方程组是流体运动所遵循的物理定律用方程的形式表达出来，然后在一定的边界条件与初始条件下，用精确的或简化的或数值的方法进行求解，得出流动的未知量，如速度场，压力场等。 流体运动作为物质运动一种形式，其必然遵守关于物质运动的某些普遍规律。一般来说，在流体力学的范围内，流体运动必须遵循的定律有：1、质量守恒 2、动量守恒定律 3、动量矩平衡定律 4、能量守恒定律（热力学第一定律） 5、熵不等式（热力学第二定律）。 与其相应的流体力学基本方程： 1、连续方程 2、运动方程或动量方程 3、动量矩方程 4、能量方程（动能方程，内能方程，总能方程――基本形式） 流体力学的基本方程的数学表达形式： 1、拉格朗日型或欧拉型 2、积分型或微分型 3、纯数学或理论推导或半经验半理论或经验型 流体力学的基本方程组：（我们所涉及的） 1、积分型或微分型基本形式的方程组 2、欧拉（型）微分型粘性（可压缩或不可压缩）流体的基本方程（N-S） 3、欧拉微分型理想（不可压缩）流体的基本方程组（Enler） 4、粘性紊流时均运动的基本方程组（雷诺方程） §3.1系统导数及输运方程 系统的概念（质量体）：由确定的流体质点所组成的流体团（或质量体）。其具有如下特点：（封闭流体面所包含的流体） 1、系统的边界随流体的一起运动，系统的体积及边界面的形状和大小可以随时间变化。 2、在系统的边界上没有质量的交换，但是可以由能量的的交换（热或动） 3、在系统的边界面上受到外界作用在系统的表面力。 系统的概念是建立在拉格朗日质点系法的基础上的。把特定的质点系作为研究对象。 控制体的概念：流体所流经的，相对于某个坐标系来说固定不变的，根据研究问题所选定流动的体积。 其特点为： 1、控制体的体积，形状，控制体的边界面及形状均不随时间变化，相对于某个坐标系是固定的； 2、控制体的边界面为封闭面，边界面可以由质量的交换，也可以有动能，热或内能等能量的交换； 3、在控制体的边界面上受到控制体以外“物体”施加在控制体以内“物体”上的力。 控制体内的流体质点是变化的，系统内的流体质点是相同的。 控制体的概念只运用于欧拉法。 系统与控制体的转换： 系统的体积大小及形状是随时间变化的，边界面面积及形状也是随时间变化的。设t时刻体积为面积为，则t+t时刻后为和。如果把t时刻系统选定为控制体，则在t时刻，控制体与系统是重合的，，因此如果要把系统的一个关于时间的变化转换成控制体上关于时间的变化，实际上是在, 的过程中物理量对时间的变化过程。因此即包括了物理量本身同时间的变化，也包括了物理量因系统的体积与面积随时间变化二引起物理量的变化。 系统导数：系统某一物理量中的体积分对时间的变化率称为系统导数。系统导数也称为随体导数。 设为系统物理量对系统的体积分，则系统导数按照上面的定义可表达为：，为系统的体积，可以是质量，动量，动量矩和能量等等。 注意到是单位时间内系统微元体积的相对变化率，根据流体的体积膨胀率定义及速度散度的物理意义可知： 因此在系统的体积和边界与时间无关时，系统导数还可以表示成： ＝ 输运公式：把系统导数用控制体来表示，所得到的结果就是输运公式。即把转变成适应控制体的形式。可以证明,当和的过程中，系统导数转变为适应控制体后的形式为： A为控制体边界面的面积，为边界面的外法线单位矢量。当为：质量，动量， 动量矩和能量时，系统导数的表达： ＝： ＝： ＝： ＝： 输运公式的物理意义： 某个物理量的系统导数（随体导数）＝单位时间内，由于时间变化引起的控制体内物理量的增量或变化（局部导数）+单位时间内通过控制体的边界面流出控制体边界面的物理量（控制面上的输运量） “流出”是因为定义为边界面的外法线方向为正。 满足微元体流动连续性定理时的系统导数： 当一个系统的体积内既没有源也没有汇时，系统的质量应满足守恒定律，其系统总的质量随时间的变化率，即质量的系统导数应该等于零： 上式即为拉格朗日积分形式的连续性方程。上面方程中并不要求被积函数处处连续可导，只要求被积函数在处存在。如果被积函数在整个内处处联系可导，则在的每一个点上均应有： ＝0 这正是流体满足质量守恒定律时的微分关系式，也就是微分形式的连续性方程。在这一条件下，系统导数可表示成： 动量的系统导数（＝）： 动量矩的系统导数＝： 上式可以写成 能量系统导数＝： 上面表达式要求流体处处连续可导 §3.3 流体力