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重心
重心
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。
2、重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。
3、重心到三角形3 个顶点距离平方的和最小。
3、重心到三角形3 个顶点距离平方的和最小。
证明方法：
证明方法：
设三角形三个顶点为 (x,y ),(x ,y ),(x ,y ) 平面上任意一点为 （x，y） 则该
设三角形三个顶点为 (x,y ),(x ,y ),(x ,y ) 平面上任意一点为 （x，y） 则该
1 1 2 2 3 3
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点到三顶点距离平方和为：
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2 2 2 2 2 2
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(x-x) + (y -y) + (x -x) +(y -y) +(x -x) +(y -y)
(x-x) + (y -y) + (x -x) +(y -y) +(x -x) +(y -y)
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2 2 2 2 2 2 2 2
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=3x -2x(x +x +x )+3y -2y(y +y +y )+x +x +x +y +y +y
=3x -2x(x +x +x )+3y -2y(y +y +y )+x +x +x +y +y +y
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2 2 2 2 2 2 2 2
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3[x-1/3* (x +x +x )] +3[y-1/3* (y +y +y )] +x +x +x +y +y +y -1/3(x +x +x )
3[x-1/3* (x +x +x )] +3[y-1/3* (y +y +y )] +x +x +x +y +y +y -1/3(x +x +x )
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