高等代数域、环、群的定义与简单性质.pdf

代数运算系统 我们在高等代数中学习抽象线性空间的定义时，其方式是给定一个 非空的集合 V 和一个数域 F，在 V 上有一个加法运算，在 F 的元 和 V 的元之间有一个数量乘积，又满足必要的一些性质，就称 V 是 F 上的线性空间. 抽象的代数运算系统的定义方式也是如此. 给 定一个抽象的集合，在其中定义一些运算，满足一些运算法则，这 些称为公理，一组公理就定义一种代数运算系统，然后在这些公理 的基础上来研究代数运算系统的运算性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 代数运算的定义 定义和研究代数运算系统离不开集合及映射的概念和性质. 关于集 合上的代数运算，我们见过数的加法、乘法；多项式的加法、乘法； 矩阵的乘法；变换的乘法 ，把它们的共同点概况起来：集合 A 上的代数运算是一个对应法则，对于 A 中任意一对a b，按这 个法则都有 A 中唯一一个元c 与其对应. 可以用集合论的语言表达 运算，对集合 A B，作集合a ba A b B，称为A 与 B 的集合积或笛卡尔积，记为A B，则运算的定义可抽象为： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 代数运算的定义 定义和研究代数运算系统离不开集合及映射的概念和性质. 关于集 合上的代数运算，我们见过数的加法、乘法；多项式的加法、乘法； 矩阵的乘法；变换的乘法 ，把它们的共同点概况起来：集合 A 上的代数运算是一个对应法则，对于 A 中任意一对a b，按这 个法则都有 A 中唯一一个元c 与其对应. 可以用集合论的语言表达 运算，对集合 A B，作集合a ba A b B，称为A 与 B 的集合积或笛卡尔积，记为A B，则运算的定义可抽象为： 定义 A 是一个非空集合，集合积A A a ba b A 到A 的一个 映射就称为A 的一个代数运算，也常称为A 的一个二元运算，或 简称为A 的一个运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 域的定义 定义 设 F 是至少包含两个元的集合，在 F 中有一个代数运算，称作加 法；这就是说，对F 中任意两个元a b，有F 中唯一一个元c 与之 对应，称为 a 与 b 的和，并记作c a b. 在 F 中还有另一个代数 运算叫做乘法，即对F 中任意两个元a b，在F 中都有唯一的一个 元 d 与之对应，称为 a 与 b 的积，并记为d ab. 如果 F 的这两 个运算还满足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .