对勾函数在解题中的妙用.docVIP

对勾函数在解题中的妙用 常称函数为对勾函数，关于函数 例1：若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。 分析：本题若将不等式的左边视为二次函数，数形结合进行求解可以，但须分类讨论，解答过程较为繁冗，其实这里若借助对勾函数的图象与性质可得如下简解： 解：因，故原不等式可化为，令，结合对勾函数的图象可知：函数在区间上是增函数，所以当时，有，故，即所求实数的取值范围为。 点评：本题在解答时，通过分离出参变量用变量表示，将问题转化为求对勾函数在区间的值域的问题，进而求出参变数的取值范围，解答过程简捷、明快。 例2：求函数的值域。 分析：表面上看直接解答本题似乎无法下手，其实若借助上述变形可得如下简解：因注意到当时与同号，则，即或，所以或，故所求函数的值域为。 点评：本题也可先令，则，则原函数变为，注意到与同号，所以（当且仅当时取等号），即或，所以或，故所求函数的值域为。 例3（2007年广东卷）：设，若函数在区间上有零点，求实数的取值范围。 分析：本题若运用二次函数的知识直接求解不仅运算较为繁难，而且解答过程冗长，其实这里若运用函数思想及上述分式的一个等价变形可得如下简捷、巧妙的解法： 解：由题设“函数在区间上有零点”等价于“方程在区间上有解”。当时，，故；又因，故，所以由变形可得：，令，则，注意到，所以，这样问题就转化为求函数在区间上的值域，事实上，因，故，即当时，函数取最小值；此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，而，所以当时，函数在区间上取最大值1，即且，也即且，故所求实数的取值范围为。 点评：本题在解答时借助等价转化与函数方程的数学思想将问题进行巧妙地等价转化与化归，从而将所求参数的取值范围问题成功地转化为求较为熟悉的函数在指定区间上函数的最大、最小值的问题，进而使问题简捷、明快地获解，避免和简化了分类讨论步骤，缩短大量的繁琐冗长的运算过程，在这里分式的一个简单变形为问题的解答开辟了捷径。