高等数学基本公式、概念和方法.docVIP

高等数学基本公式、概念和方法 一．函数 1．函数定义域由以下几点确定 （１） （２）（其中n为正整数） （３）。 （４） （５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集． （６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定． 2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的． 若是偶函数，若是奇函数． 若的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如等。 若的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如 将函数分解成几个简单函数的合成． 由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系． 二．极限与连续 1．主要概念和计算方法： （１）．（必考） （２）．若（极限过程不限），则当时为无穷小量。（必考） （3）．若，则函数在处是连续的。（必考） 即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。 若上述三条至少一条不满足，则是函数的间段点。 （4）．间断点的分类：设是函数的间断点 若左、右极限均存在，则称为第一类间断点。（要知道分类） 若左、右极限至少有一个是无穷大，则称为第二类间断点。（了解即可） （5）．重要公式：条件（极限过程不限）（必考） 结论《１》；《２》 *常用等价无穷小公式：(当x→0时：) 1、 x~ 2、 x 3、 1-cos 4、 (1+x) 5、 a 6、 log 7、 (1+αx) 8、 (1+x) *重要极限：lim lim lim lim lim *公式：cos (sin ( 2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值） 定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。 不定式：（Ａ）型：消去零因子或用公式《１》。 （Ｂ）型：约去因子，使之变成定式。 （Ｃ）型：用公式《２》。 （Ｄ）型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。 （Ｅ）型：通分或有理化，使之转化成其它类型。 注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。 三．导数（必考） （一）基本概念 1．导数值：，也可以记作。 2．导数的几何意义：就是曲线在点处切线的斜率k，其切线的方程是：，法线方程：。 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。 （二）．导数基本公式：（必考） 1． 2。 3。 4。 5。 6． 7。 8。 9。 10． 11。 12。 13． （三）微分法（设u和v 都是x的函数） 1．用定义求导数或导函数。 2． 3．； 4． 5．设复合函数，则 6．设由隐函数确定，则，也可以直接对方程求导数。 7．对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。 8．设参数方程，则 9．微分： 10．反函数的导数： 附：函数在一点处几个概念之间的关系图 可导（可微）连续（极限值等于函数值）有极限有定义（函数值存在） 可导（可微） 连续（极限值等于函数值） 有极限 有定义（函数值存在） 四．中值定理与导数应用 1．拉格朗日中值定理： 条件：函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导 结论：至少存在一点。 罗比达法则limab=limab (a’ 无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用，其中罗比达法则只有当因式极限为零或者无穷的时候用 罗比达法则未定型式的变换：（变成00或者∞ 0?∞=0? ∞-∞= 1 0 ∞ 通过这些变换可以使更多代数式实用罗比达法则 3．单调性：若在（a,b）内在（a,b）内单调递增。 若在（a,b）内在（a,b）内单调递减。 极值存在的必要条件：若（为驻点） 极值存在的充分条件：设函数在a点连续，则： 在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。 在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。 判断曲线凹凸的方法： 若在(a,b)内0，则曲线在（a,b）内上凹。如等。 若在(a,b)内0，则曲线在（a,b）内下凹。如等。 曲线拐点的求法： 设a为函数的连续点，若函数在a点处二阶导数变号，则曲线上的点 （a,f(a)）为曲线的拐点。 求渐近线的方法：（必考） 若，则x=a为曲线的铅直渐近线。 若，则y=b为曲线的水平渐近线。 极值应用： 画图、设变量x，并将其余变量用x表示。 建立函数关系，并写出定义域。 求函数的一阶导数，找出驻点。 说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。 五．不定积分 原函数：在某区间内，若在任一点处均有，则称F（x）是的一个原函数。 若有原函数F（x），则F（x）+