三角形“五心”向量表现形式之有关定理及应用论文.pdfVIP

三角形 “五心”的向量表现形式之有关定理及应用 三角形 “五心”的向量表现形式之有关定理及应用 平面向量不仅有丰富的物理背景，还有丰富的几何背景。平面 平面向量不仅有丰富的物理背景，还有丰富的几何背景。平面 几何中的很多问题可以借助向量这一工具来解决，如三角形中的内 几何中的很多问题可以借助向量这一工具来解决，如三角形中的内 心、外心、重心、垂心和旁心都可以用向量来表示。本文试从向量 心、外心、重心、垂心和旁心都可以用向量来表示。本文试从向量 的角度来研究一下三角形的五心。我们把三角形三个内角的角平分 的角度来研究一下三角形的五心。我们把三角形三个内角的角平分 线的交点叫做三角形的内心，即三角形内切圆的圆心；三角形三条 线的交点叫做三角形的内心，即三角形内切圆的圆心；三角形三条 边上的中垂线的交点叫做三角形的外心，即三角形外接圆的圆心； 边上的中垂线的交点叫做三角形的外心，即三角形外接圆的圆心； 三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心；三角形三条高线 三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心；三角形三条高线 的交点叫做三角形的垂心；三角形两个角的外角角平分线和第三个 的交点叫做三角形的垂心；三角形两个角的外角角平分线和第三个 角的内角平分线的交点叫做三角形的旁心，一个三角形有三个旁 角的内角平分线的交点叫做三角形的旁心，一个三角形有三个旁 心。我们将三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心合称为三角形 心。我们将三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心合称为三角形 的 “五心”。 的 “五心”。 一、三角形的重心 一、三角形的重心 定理 1：点 o 是△abc 内一点，且 ｏａ+ ｏｂ+ ｏｃ ０，则o 是 定理 1：点 o 是△abc 内一点，且 ｏａ+ ｏｂ+ ｏｃ ０，则o 是 △abc 的重心。 △abc 的重心。 推论 1：若 o 是△abc 的重心，则有 ｏａ+ ｏｂ+ ｏｃ ０。 推论 1：若 o 是△abc 的重心，则有 ｏａ+ ｏｂ+ ｏｃ ０。 推论 2：已知 o 是△abc 所在平面上的一点，动点 p 满足 ｏｐ 推论 2：已知 o 是△abc 所在平面上的一点，动点 p 满足 ｏｐ λ λ λ λ ｏａ+ (ａｂ+ ａｃ)， ∈(0，+∞)则动点 p 的轨迹一定通过△abc ｏａ+ (ａｂ+ ａｃ)， ∈(0，+∞)则动点 p 的轨迹一定通过△abc 的重心。 的重心。 小结：定理的证明体现了向量加法的几何意义，用到了三角形 小结：定理的证明体现了向量加法的几何意义，用到了三角形 重心的性质；推论涉及了中点的向量公式和共线向量的充要条件， 重心的性质；推论涉及了中点的向量公式和共线向量的充要条件， 通过向量把数形巧妙结合起来。 通过向量把数形巧妙结合起来。 二、三角形的垂心 二、三角形的垂心 定理 2：已知 o 是△abc 所在平面上的一点，若 oa，则 ｏａ ｏ 定理 2：已知 o 是△abc 所在平面上的一点，若 oa，则 ｏａ ｏ ｂ、ｏｃ ｏａ、 ｏｃ是的垂心。 ｂ、ｏｃ ｏａ、 ｏｃ是的垂心。 推论 1：已知 o 是△abc 所在平面上的一点，ｏａ、ｂｃ ｏｂ、 推论 1：已知 o 是△a