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高等代数自学总结 多项式环 引言：经过这段时间的自学学习。我对多项式理论有了更深的了解。我觉得难的是sturm 定理的证明和牛顿公式的证明。让我印象最深的是带余除法在λ-矩阵相抵标准型中的应 用。 在当今信息时代，多项式在计算机科学，现代通信，编码和密码等领域都有应用。 ——李珍珍 2016.9.30 重点学习目标： 1，理解概念 2，掌握重要定理 3，会求多项式函数在各数域上的标准分解式 4.会判断根所在的范围 5.会做相应习题 各数系数多项式唯一因式分解定理 次数大于0的复系数多项式f (x)的标准分解式为 l l l 1 2 s f (x) a(xc）a(xc ）...a(xc ） 1 2 s 次数大于0的实系数多项式f (x)的标准分解式为 r r 2 k 2 k 1 s 1 t f (x) a(xc ) ...(xc ) (x p xq ) ...(x p xq ) 1 s 1 1 t t 整系数多项式有理根的判别方法 q 如果 是f (x)的一个有理根，且(p,q) 1， p 那么存在一个整系数多项式g(x), 使得f (x) (pxq)g(x)。 q f (1) f (-1) 当  1时， Z， Z p p q p q f (1) f (-1) q 若 Z， Z，则 不是f (x)的根。 p q p q p 各数域上的不可约多项式 （复系数多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于0 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。 （实数域多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于0 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次因式乘积。（△＜0） 中国剩余定理 设m ,m ,...,m 是两两互素的正整数，b ,b ,...,b是任意给定的s个整数。 1 2 s 1 2 s 则同余方程组 x  b（modm） 1 1  x  b （modm ）  2 2  x  b（modm ）  s s 在Z中必有解，如果c和d是两个解，那么 c d （modmm ...m ） 1 2 s 命题1，设f (x),g(x)K[x]，则 deg(f g) max｛degf ,degg｝ deg(fg) degf degg （f与g和差的次数小于等于它们的较大次数 f与g积的次数 f与g次数的和） 两个非零多项式(乘积的首项)等于这两个多项式(首项的乘积）. 2 3 4 2 6 4 7 5 例如：(3x +5x )(2x +3x )=6x +9x +10x +15x 2 3 4 2 3 4 7 (3x +5x )(2x +3x ) 首项5x ·2x =10x 满足加，乘两种代数运算和6 条运算法则叫环。 满足交换率的环叫交换环。 有单位元e 的环叫整环。 命题2 环R 的一