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2.3 简谐振子
六、振子的时间演化
x ，p的Heisenberg运动方程可表示为
dp 1 ∂H 2 dx = p
dt = ih [p ,H ] = − ∂x = −mω x , dt m
这对耦合方程等价于a 和 a+ 的独立微分方程：
dp d a+ a− m i
( − ) ω / 2 2 +
= = −mω (a + a) ,
dt dt 2mω
dx d (a+ + a− ) / 2mω + ω
= = i(a − a)
dt dt 2m
即 d (a+ − a− ) = −iω(a+ + a), d (a+ + a− ) = iω(a+ − a)
dt dt
六、振子的时间演化（续）
da+ da
或 + = −iωa;
= iωa ,
dt dt
a+ (t) = a+ (0)eiωt , a(t ) = a(0)e− iωt
ip(t) ip(0) − iωt
得解为 x (t ) + = x (0) + e ,
mω mω
ip(t) ip(0) iωt
( ) − = (0) −
x t x e
mω mω
与经典x 、p的运动形式相同。x 、p算符像其经典对应量一
样振荡 p (0)
( ) (0)cos sin ,
x t = x ωt + ωt
mω
p (t ) = −m ωx (0)sin ωt + p (0) cosωt
六、振子的时间演化（直接解法）
x (t ) = eiHt / x (0)e−iHt /
由算符的时间演化直接求出x(t),p(t) ：
利用Baker-Hausdorff引理:
2 2
iλG − iλG , i λ , ,
e Ae = A + iλ [G
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