高等流体力学笔记第5讲.docVIP

§2.7不可压缩无旋流动的基本方程域求解问题简述 一、不可压缩无旋流动的基本方程 从不可压缩及无旋两个条件可知： 无旋必然有势且： 不可压缩则速度散度： （不可压缩流动） 将无旋条件代入不可压缩速度散度为零可得： 为关于流速势的拉普拉斯方程 式中 称为拉普拉斯算子 所以不可压缩无旋流动的基本方程是速度势的拉普拉斯方程。 二、不可压缩无旋流动的动能 流动的动能定义为： 因为不可压缩及流动无旋，故：， 所以 代入动能定义并利用高斯公式可得： 这就是不可压缩无旋流动的动能表达式，其中A为体积的边界面面积，为边界面的单位外法线矢量。上式表明，对于不可压缩无旋流动，其动能完全可用边界上的速度势及沿边界面外法线方向上的变化率乘积的面积分确定。 三、不可压缩无旋流动解法简述 求解不可压缩无旋流动的方法有许多，但是归纳起来可表述为正命题和逆命题法两类。 逆命题法：已知一些函数，其满足拉普拉斯方程，寻找或确定给定边界条件的流速势 （或流函数）的方法。 正命题法：在给定的边界条件下，直接求解拉普拉斯方程。 例如：已知显然其满足，按照流速势与流速的关系可知： ，因此可选作满足的平行流场的势函数的解。 再例如：已知是一个平行流动流场的势函数的解，是一个位于坐标 原点的点源流场的势函数的解。可以证明，将其叠加后为一个纯体绕流流 场的势函数的解，这就是所谓的叠加法。 1、按给定的边界条件直接求解拉普拉斯方程 边界条件有三种： 第一类边值问题：再整个边界上给定值，也称狄里希里问题（Dirichlet） 第一类边值问题：再整个边界上给定值，也称诺曼问题（Nouman） 混合边值问题：在部分边界上给定，其余边界上给定值，也称为第三类边值问题，柯西问题（Canchy） 2、保角变换法（解析变换法）：对于平面无旋不可压缩流动，利用复变函数中的保角变换的 方法，将复杂的边界流动问题变成简单边界，且解为已知的流动问题进行求 解。 例如：物理平面上的翼型绕流变成数学平面上的圆柱绕流。 3、数值解法：利用计算机与计算方法，近似求解给定的边界条件的拉普拉斯方程 差分法，有限元法：将计算区域离散，将微分方程变成差分方程，近似求解各节点的。 边界元法：将问题转化为求解边界单元节点上的行，求值的问题。 四、不可压缩无旋流动解的唯一性定理简述 即在什麽样的边界条件下的解是唯一的，从而是唯一的。 1、有界单连域：满足下列条件之一者，是唯一的。 在整个边界上给定值；或在整个边界上给定值；或在一部分边界上给定，其余边界上给定值。 2、误解单连域（外边界趋向无穷远）：满足下列条件者解唯一。 在整个边界上给定值及通过内边界的流量Q；或在整个内边界上给定值；或在一部分边界上给定，其余边界上给定值，并给定通过内边界的总流量Q。 3、有界双连域： 在内外边界上给定值；或在内外边界上给定值并给定（或）；或在一部分边界上给定，其余边界上给定值并给定（或）。 4、无界双连域（有界双连域外边界趋向无穷远时） 对于内边界无环量流流动，且，唯一性条件为：在内边界上给定和通过内边界的总流量Q;或在内边界上给定；或在内边界上部分给定，其余部分给定，并给定出内边界上的总流量值Q。 §2.8有旋流动的的基本方程及解法简述 一、有旋流动的基本方程 如果流场的速度散度不为零，且为已知函数，流场的旋度也不为零，且为已知函数，其应满足的基本方程为：即为关于的泊桑方程。 证明：根据场矢量有关运算公式可得： 代入旋度定义和散度定义可得之。 二、有旋流动解法简介 已知流场的散度 其边界条件为不渗透，也不分离 流场的旋度 即流体在物面上的法向流速就等于物面本身的法向速度。 求解子阿该散度和该涡量场是的速度场。 求解这类问题，我们并不在给定的边界条件下直接求解其基本方程，而是把流场进行分解，然后一一求解。 假定流场由三部分组成： 则根据已知条件与给定的边界条件可有： 将上面方程及边界条件分解成如下几个方程组： 方程（1）问题已经归纳为求解一个散度已知，但流动无旋的特解问题。 方程（2）问题已经归结为求一个旋度已知的不可压缩流动的特解问题。 方程（3）在和为已知时，已经归结为边界条件为已知的不可压缩无旋流动的解的问题，显然就是在给定的边界条件下求解的问题。 解方程（1），因为其无旋，故代入散度条件可得： 所以问题又进一步归结为求的泊桑方程的任意特解问题。 解方程（2），由于可令（显然） 将其代入旋度条件可得： 由场量公式可知上式可改写为： 若进一步假定（即要求在边界上满足） 则可得： 由上式可见，方程（2）在的条件下，可转化为关于的泊桑方程，因此问题也归结为求