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第 15 章 （之1）
（总第80次）
教学内容：§15.1引言，§15.2 周期函数的傅立叶级数展开（周期为2π）
**1．若[a,b]上的正交函数系中每个函数之平方在[a,b]上的积分均为1，就称之为[a,b]
上的标准（或规范）正交函数系。试证：
⎧ 1 1 π 1 π 1 2π 1 2π
⎨ , cos x, sin x, cos x, sin x,L，
⎩ 2l l l l l l l l l
1 nπ 1 nπ ⎫
cos x, sin x,L⎬ 是 [−l,l]上的标准正交函数系。
l l l l ⎭
l
l 1 1 kπ 1 l kπ
证： ∫−l 2l l⋅ cos l xdx= 2l⋅ kπ sin l x = 0，
−l
l
l 1 1 kπ 1 l kπ
∫−l 2l l⋅ sin l xdx= 2l⋅(− kπ)cos l x = 0，
−l
l 1 nπ 1 mπ 1 1 l m+ n n−m
∫−l sin x cos xdx= ⋅ ∫−l[sin πx+sin πx]dx= 0，
l l l l l 2 l l
当n≠ m时
l 1 nπ 1 m 1 l ⎡ n+ m n−m ⎤
∫ cos x cos πxdx= ∫ cos πx+ cos πx dx= 0
−l l l l l 2l −l⎢ l l ⎥
⎣ ⎦
l 1 nπ 1 mπ 1 l n−m n+ m
∫−l sin l x sin l xdx= 2∫−l[cos l πx−cos l πx]dx= 0
l l
∴ 此函数系是正交函数系。
l 1 1
又 ∫−l ⋅ dx=1，
2l 2l
2
l ⎡ 1 nπ ⎤ l1 2 nπ
⋅cos x = cos xdx
∫−l⎢ 2l l ⎥ ∫−ll l
⎣ ⎦
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